线
- 同角或等角的余角相等
- 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
- 过两点有且只有一条直线
- 两点之间线段最短
- 同角或等角的补角相等
- 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
- 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
- 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
- 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
- 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合
- 关于某条直线对称的两个图形是全等形
- 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
- 两个图形关于某直线对称，若其对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上
- 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于该直线对称
角
- 同位角相等，两直线平行
- 内错角相等，两直线平行
- 同旁内角互补，两直线平行
- 两直线平行，同位角相等
- 两直线平行，内错角相等
- 两直线平行，同旁内角互补
- 角平分线上的点到角两边的距离相等
- 到角两边距离相等的点在角的平分线上
- 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合
三角形
- 三角形两边之和大于第三边
- 三角形两边之差小于第三边
- 三角形内角和等于180°
- 直角三角形的两个锐角互余
- 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和
- 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
- 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a² + b² = c²
- 勾股定理逆定理：若三角形三边满足a² + b² = c²，则为直角三角形
等腰、直角三角形
- 等腰三角形的两个底角相等
- 等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边
- 等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线三线合一
- 等边三角形各角相等，每个角均为60°
- 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
- 三个角都相等的三角形是等边三角形
- 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
- 直角三角形中，若一个锐角为30°，则其所对直角边等于斜边的一半
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
相似、全等三角形
- 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
- 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
- 直角三角形被斜边上的高分成的两个小三角形与原三角形相似
- 两边成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
- 三边成比例，两三角形相似（SSS）
- 两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，则这两个三角形相似
- 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比
- 相似三角形周长的比等于相似比
- 相似三角形面积的比等于相似比的平方
- 边角边公理（SAS）：两边及其夹角对应相等，两三角形全等
- 角边角公理（ASA）：两角及其夹边对应相等，两三角形全等
- 两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等
- 边边边公理（SSS）：三边对应相等，两三角形全等
- 斜边、直角边公理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
- 全等三角形的对应边、对应角相等
四边形
- 四边形的内角和等于360°
- 四边形的外角和等于360°
- n边形内角和为(n−2)×180°
- 任意多边形的外角和等于360°
- 平行四边形的对角相等
- 平行四边形的对边相等
- 夹在两条平行线间的平行线段相等
- 平行四边形的对角线互相平分
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
矩形
- 矩形的四个角都是直角
- 矩形的对角线相等
- 有三个角是直角的四边形是矩形
- 对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
- 菱形的四条边都相等
- 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角
- 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即 S = (a × b) ÷ 2
- 四边都相等的四边形是菱形
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
- 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
- 正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
- 关于中心对称的两个图形是全等的
- 关于中心对称的两个图形，对称点连线经过对称中心并被其平分
- 如果两个图形的对应点连线都经过某一点并被该点平分，则这两个图形关于该点中心对称
等腰梯形
- 等腰梯形在同一底上的两个角相等
- 等腰梯形的两条对角线相等
- 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
- 对角线相等的梯形是等腰梯形
等分与比例
- 平行线等分线段定理：一组平行线在一条直线上截得线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等
- 经过梯形一腰中点且与底平行的直线，必平分另一腰
- 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线，必平分第三边
- 三角形中位线平行于第三边，并等于其一半
- 梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半（L = (a + b) ÷ 2），面积 S = L × h
- 比例基本性质：若 a:b = c:d，则 ad = bc；反之亦然
- 合比性质：若 a/b = c/d，则 (a±b)/b = (c±d)/d
- 等比性质：若 a/b = c/d = … = m/n（b+d+…+n ≠ 0），则 (a+c+…+m)/(b+d+…+n) = a/b
- 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例
- 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线），所得对应线段成比例
- 若一条直线截三角形两边所得对应线段成比例，则该直线平行于第三边
- 平行于三角形一边并与另两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例
- 任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值
- 任意锐角的正切值等于其余角的余切值，余切值等于其余角的正切值
圆
- 圆是到定点距离等于定长的所有点的集合
- 圆内部是到圆心距离小于半径的点的集合
- 圆外部是到圆心距离大于半径的点的集合
- 同圆或等圆的半径相等
- 到定点距离等于定长的点的轨迹是以该点为圆心、定长为半径的圆
- 到线段两端点距离相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线
- 到角两边距离相等的点的轨迹是该角的平分线
- 到两条平行线距离相等的点的轨迹是与这两条线平行且等距的一条直线
- 不在同一直线上的三个点确定一个圆
- 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧
- 推论：
- 平分非直径弦的直径垂直于弦，并平分其所对的两条弧
- 弦的垂直平分线经过圆心，并平分其所对的两条弧
- 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并平分另一条弧
- 圆的两条平行弦所夹的弧相等
- 圆是关于圆心对称的中心对称图形
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦及弦心距均相等
- 在同圆或等圆中，若圆心角、弧、弦或弦心距中有一组相等，则其余各组均相等
- 一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半
- 同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等
- 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径
- 若三角形一边上的中线等于该边的一半，则此三角形为直角三角形
- 圆内接四边形的对角互补，任意外角等于其内对角
- 直线与圆的位置关系：
- 相交：d < r
- 相切：d = r
- 相离：d > r
- 切线判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线
- 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
- 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
- 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
- 从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分两切线夹角
- 圆外切四边形的两组对边之和相等
- 弦切角等于其所夹弧所对的圆周角
- 若两个弦切角所夹弧相等，则这两个弦切角也相等
- 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的线段长度乘积相等
- 若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所得两线段的比例中项
- 切割线定理：从圆外一点引切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的线段长度的比例中项
- 从圆外一点引两条割线，该点到每条割线与圆交点的线段长度乘积相等
- 两圆相切时，切点在连心线上
- 两圆位置关系：
- 外离：d > R + r
- 外切：d = R + r
- 相交：R − r < d < R + r（R > r）
- 内切：d = R − r（R > r）
- 内含：d < R − r（R > r）
- 相交两圆的连心线垂直平分它们的公共弦
- 将圆n等分（n ≥ 3）：
- 依次连接各分点得到圆内接正n边形
- 过各分点作切线，相邻切线交点构成圆外切正n边形
- 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心
- 正n边形每个内角为 (n−2)×180° / n
- 正n边形的半径和边心距将其分为2n个全等的直角三角形
- 正n边形面积 Sn = (p × rn) / 2，其中p为周长，rn为边心距
- 正三角形面积公式：S = (√3 / 4) × a²，a为边长
- 若k个正n边形在一个顶点拼接，则满足 (n−2)(k−2) = 4
- 弧长计算公式：L = nπR / 180
- 扇形面积公式：S = nπR² / 360 = LR / 2
- 内公切线长 = d − (R − r)，外公切线长 = d − (R + r)
