本文选自期刊《大地测量与地球动力学》2025年
作者：张皓清，杨立伟
来源：水下重力梯度导航中的潜艇尾迹影响分析[J/OL].大地测量与地球动力学,1-7[2025-09-29].https://doi.org/10.14075/j.jgg.2024.11.515.
摘要
摘要：使用势流理论(potential flow theory)建立伯努利水丘(Bernouli hump)、开尔文尾迹(Kelvin wake)和内波尾迹(internal wake)模型，通过仿真实验定量研究潜艇产生的水动力学尾迹对水下重力梯度导航的影响。结果表明，随着潜艇航速增加和潜深减小，尾迹会产生显著的重力梯度测量值扰动:潜艇在潜深40 m以20节航速行驶时的尾迹会产生量级为10-9 s-2的重力梯度干扰，从而影响水下重力梯度导航的精度，此时必须对实测信号进行预处理以消除或减弱尾迹带来的影响。
一、前言
近年来随着重力梯度传感器测量精度的提高，水下重力导航已经成为可能。由于重力及重力梯度的测量无须主动发射能量，不依赖外界导航信息，因此其是严格意义上的无源、自主导航，是目前水下导航领域的前沿和热点美国在20世纪70年代就开始研发无源导航技术，洛克希德马丁公司研发的无源重力辅助惯性导航系统可以实现14d的精确导航该系统使用重力匹配得到潜艇导航的位置坐标，通过无源方式修订惯性导航误差，美国海军测试结果表明，重力图像匹配技术能够将导航误差在经度和纬度方向都降低到10%以下。目前，美国制造的海洋重力仪的精度可达到高于1mGal的水平。国内学者在20世纪90年代开始对重力辅助惯性导航技术进行研究，随着我国在基础科学、精密制造和精密测量等领域的快速发展，可为水下导航技术的发展提供条件。我国在重力匹配惯性导航领域的探索仍处于理论研究和实验论证阶段。
潜艇在均匀或分层流体之间航行时会在水面上产生伯努利水丘、开尔文尾迹和内波尾迹。Crapper通过CFD软件模拟分层流体中的界面开尔文波，发现其呈现不同形式的主要依据为弗劳德数(Froude,F)。Crapper研究指出，在匀质二相流系统中，点源在自由波面上运动时存在表面波和界面波2种模态，分层效应会对界面波数产生显著影响，从而影响波幅特征。张效慈!采用TucK公式计算国外常见军用潜艇的内波尾迹在海面映波的测量值。洪方文等通过基于RANS方程和VOF方法的非定常粘性数值方法得到潜艇在均匀水流中产生的表面尾迹特征。盛立等采用Hess-Smith方法对两层介质中的潜体进行计算发现，当F较小时，水面波纹以横波为主;随着F变大，波形向着散波发展。苏焱等基于高精度Boussinesg方程的三维数值波浪水池模拟潜艇在水下航行过程中自由表面波的形态变化，该方法相对于传统黏性流体计算方法，在同等计算精度的前提下计算效率更高。
为分析潜艇在水下航行时产生的水动力学尾迹对水下导航的可靠性和精度的影响，本文通过势流理论仿真计算潜艇在不同深度和速度时产生的尾迹，并对尾迹产生的重力梯度进行定量研究，以期为利用重力梯度的水下导航提供有价值的参考。
二、 原 理
潜艇在均匀或分层流体之间航行时会在水面上产生伯努利水丘、开尔文尾迹和内波尾迹。本节采用势流理论和源汇分布模型建立这3种尾迹的数学模型，推导尾迹的重力梯度计算公式，并分析计算尾迹重力梯度时所需的积分区域.
（一）潜艇尾迹
1.伯努利水丘和开尔文尾迹
a diving depth of[Math Processing Error]in a uniform fluid
对于不可压缩流体，速度势满足拉普拉斯方程(1)和边界条件(2)~(4):
[Math Processing Error](1)
[Math Processing Error]，潜艇表面 (2)
[Math Processing Error]，空气-流体界面 (3)
[Math Processing Error]，空气-流体界面 (4)
式中，n表示法向量；P为自由表面的压力。点源和点汇产生的速度势可以近似表示为：
[Math Processing Error](5)
式中，l为椭球体长半轴；r为椭球体短半轴；点源和点汇的强度为2πUr2/3。在极坐标系中求解速度势，可得到格林函数G=G1+G2+G3+G4，其中，
[Math Processing Error](6)
[Math Processing Error](7)
[Math Processing Error](8)
[Math Processing Error](9)
式中，k0=g/U2(即截止波数)；θ为水平面极坐标系角度；g为重力加速度，取值为9.81 m/s2。G1和G2构成伯努利水丘的速度势，G3为开尔文尾迹的速度势，G4与前3项相比忽略不计，尾迹的波高分布可表示为：
[Math Processing Error](10)式中，
l为潜艇航行方向的单位向量。
选取潜艇长度L=138 m和等效直径2r=12.5 m，潜深在h0=30 m、50m和航速U=20节、30节时产生的尾迹如图2所示。可以看出，伯努利水丘在潜艇上方，开尔文尾迹分布在潜艇后方水面上。
2.内波尾迹
建立如图3所示的坐标系，x轴平行于潜艇航行方向，z轴沿点A垂直海面向上，y轴与x轴、z轴构成右手坐标系，将xoy平面放置于流体的密度分界面处。流场深度为h，上下流体深度分别为h1和h2，密度为ρ1和ρ2，椭球长轴到水面的距离为h0。
潜体近似为分布在Rankine椭球体头部和尾部的一对点源和点汇，点源速度势ϕ(m)满足的控制方程可表示为：
[Math Processing Error](11)
式中，δ(x,y,z-h0)为Dirac delta函数，上标1和2分别表示在上层流体和下层流体。自由面和边界面线性化的边界条件为：
[Math Processing Error](12)
[Math Processing Error](13)
[Math Processing Error](14)
[Math Processing Error](15)
式中，γ=ρ1/ρ2；ε=1-γ；μ为一个比例系数，最后取值为0。在柱坐标系下，使用势流理论近似求解速度势对应的格林函数，分别得到自由表面和流体分层界面处内波尾迹的波高为：
[Math Processing Error](16)式中，
[Math Processing Error]和[Math Processing Error]可表示为：
[Math Processing Error](17)[Math Processing Error](18)
式中
[Math Processing Error](19)
[Math Processing Error](20)
[Math Processing Error](21)
[Math Processing Error](22)
式中，d=h1-h2；n=1和2分别表示表面波模式和内波模式。
选取潜艇长度L=138 m和等效直径2r=12.5 m，潜深在h0=30 m、50m和航速U=20节、30节时产生的内波尾迹如图4所示，可以看出，内波尾迹分布在潜艇后方水面上。
（二）潜艇尾迹的重力梯度计算及积分区域选取
选取适当的海水区域，假定海水密度均匀，只考虑潜艇尾迹起伏对重力梯度的影响。设起伏海面中一个质量为m的点Q(ε,η,ζ)对重力梯度仪测量点P(x,y,z)产生的重力位为Φ，将重力位Φ在z方向求二阶导数，则由潜艇尾迹引起的重力垂直梯度异常的计算公式为：
[Math Processing Error](23)
当潜艇在水下30m、50m、100m并以30节航速航行时，垂直重力梯度计算值随着积分半径R的变化如图5所示。由图可知，后续仿真实验积分区域长度选为400m，可将潜艇下潜深度100m以内时计算值的相对误差控制在1%以内。
三、仿真实验
实验选取潜艇长度L=138 m，等效直径2r=12.5 m，万有引力常量G=6.674 08 m3/(kg∙s2)，海水密度δi=1.03×103kg/m3。选定以测量点在海平面的投影向后400m×400m的方形区域作为积分区域。
（一）潜艇在相同深度不同速度的尾迹重力梯度仿真
对潜艇在深度为50m、速度为10~30节进行尾迹仿真模拟，表1为尾迹对潜艇产生的扰动重力梯度。
由表1可以看出，当潜艇在同一深度航行时，伯努利水丘的垂直重力梯度影响的绝对值随着速度增大而增大；开尔文尾迹和内波尾迹在低速时垂直重力梯度影响较小，随着速度增大垂直重力梯度影响的绝对值迅速增大。
（二）潜艇在相同速度不同深度的尾迹重力梯度仿真
对潜艇在速度为20节、深度为30~100m进行尾迹仿真模拟，表2为尾迹对潜艇产生的扰动重力梯度。
由表2可以看出，当潜艇在同一速度航行时，随着潜艇下潜深度增加，尾迹垂直重力梯度影响的绝对值呈减小趋势，其中伯努利水丘的垂直重力梯度影响随下潜深度变化较为缓慢，开尔文尾迹和内波尾迹的垂直重力梯度影响随下潜深度变化较为迅速。
四、结语
(1)潜艇在同一深度航行时，随着速度增加，尾迹对测量点的垂直重力梯度影响随之增大;潜艇在同一速度航行时，随着下潜深
度增加，尾迹对测量点的垂直重力梯度影响随之减小，这符合理论分析的结果。
(2)目前重力梯度仪的测量精度为1x10-9s-2，当潜艇在水下40m并以20节速度航行时，潜艇尾迹引起的重力梯度扰动会对重力梯度仪的测量结果产生干扰，从而影响水下重力梯度导航的精度。因此，在该条件下需要采取适当方式对数据进行预处理，以减小或消除尾迹效应，从而确保水下导航精度。
五、参考文献
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