导读：
以我国的火星探测计划为出发点，在以椭球面作为火星数学表面的前提下，研究了复变函数表示的高斯投影理论和方法在火星投影分带及平面坐标计算中的应用。比较了两种椭球间高斯投影幂级数展开式的数值形式差异，并对火星高斯投影长度变形进行了理论分析和计算，在此基础上初步提出了火星地图的分带方案。以7种经差为例，讨论了在赤道边缘处的火星高斯投影平面坐标误差及变形规律，将其与地球传统椭球进行对比分析。结果表明，从原理上讲地球投影理论完全适用于火星，这对高斯投影在火星上的工程应用是具有重要意义的。
01
基本信息：
火星高斯投影应用分析
Application Analysis of Mars Gauss Projection
作者：
亢怡心, 李厚朴*, 陈永冰：海军工程大学电气工程学院，湖北 武汉；柯泽贤：海军陆战队训练基地，广东 广州；刘福江：中国地质大学地理与信息工程学院，湖北 武汉
关键词:
火星；复变高斯投影；第一偏心率；最大长度变形；投影分带
项目基金：
国家自然科学基金项目(42374051；42074010)
原文链接：
https://doi.org/10.12677/gst.2024.122011
02
内容简介：
在汉斯出版社《测绘科学技术》期刊上，有论文以椭球大地测量和地图投影理论为基础，在以椭球面作为火星测量数学曲面的前提下，研究了高斯投影理论在绘制火星地图中的应用。首先介绍了传统高斯投影的定义以及复变函数表示的高斯投影在投影分带以及平面坐标计算中的优势。通过对地球投影方法的分析比较，结合火星的特点，经过理论研究和计算，提出了火星地图的分带分案，初步构建了火星地图投影的基本框架。
在火星探测任务实施过程中，其中一项最主要的工作是测绘火星地表地形图。由于火星的形状和大小都不同于地球，因此有必要为火星地图的测绘建立相应的理论和方法，这是绘制火星地图的基础。地球常用 CGCS 2000 椭球的基本常数的长半轴为 6378.140 km，短半轴为 6356.755 km，扁率约为 0.003，所以地球通常以椭球面作为它的数学曲面，地图投影也是基于椭球面进行的。火星的 2 轴半径分别为 3396 km 和 3372 km，它的扁率为 0.005，和地球扁率类似，其平均半径 R 为 3376 km，所以火星地图投影也可基于椭球面进行，火星与地球重要参数对比情况可纵览如表 1。
高斯—克吕格投影作为我国常用的一种等角投影方式，常用于大比例尺地图制图和工程测量，如我国现行的 1:50 万及其更大比例尺的各种地形图，都采用高斯投影作为数学基础。如图 1 所示，高斯投影是一种横轴等角切圆柱投影，该投影将圆柱面切与制图区域的中央经线上，中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。为了控制地图变形，通常情况下在采用圆柱投影时要进行分带，我国通常以 3˚或 6˚为带宽进行分带。传统的高斯投影数学公式主要表示为经差的幂级数形式，虽然有容易理解和直观的优点，但是表达式相当冗长复杂，计算起来十分繁琐，且在实用中需要分带处理，精度存在局限性。
以实数表示的高斯投影公式推导过程复杂，表示形式也比较复杂，边少锋、李厚朴等推导出了子午线弧长与等量纬度之间的关系式，并将其拓展至复数域，以此为基础导出了高斯投影复变函数正解的非迭代公式：
高斯投影是以中央经线投影为 X 轴，正方向指向地理北极，以赤道投影为 Y 轴，向东为正方向，以交点为原点建立得平面直角坐标系。由地图投影理论可知，某点投影到赤道大圆的弧长通常称为“实际值”，相应的计算公式为：
式中α 为圆心角弧度数，r 为球面半径。为了更直观地了解弧长与平面直角坐标的关系，绘制了高斯投影直角坐标系的示意图，如图 2、图 3 所示。由高斯投影的变形规律可知，在一定带宽范围内，高斯投影在远离中央子午线且在赤道处变形达到最大，因此当在赤道边缘时，将处于相对变形最大处，如果此处的变形满足精度要求，那么其他点的变形一定满足要求。根据地图投影原理可知，Y 轴投影平面直角坐标值与弧长的差值称为最大形变值，即绝对误差。
为了验证椭球高斯投影相关理论与公式在火星的适用性，在椭球模型下计算地球与火星在赤道边缘的弧长和坐标值，并以绝对误差和相对误差的绝对值作为衡量精度的标准，其中绝对误差和相对误差的绝对值的定义如下。
结论
1) 通过比较地球椭球与火星椭球基本参数的差异以及分析高斯投影平面坐标的形变规律，发现地球与火星的偏心率相差不大，而且形变趋势基本相当，因此地球的投影理论从原理上讲完全适用于火星，在后续在火星地图投影的设计与数学基础建立上可以仿照地球地图投影系统建立，为构建火星投影系统奠定了基础。
2) 对于推导的基于椭球模型高斯投影平面坐标，火星椭球在 3˚带边缘计算的绝对误差为 82 m，相对误差为 0.046%；6˚带边缘计算的绝对误差为 660 m，相对误差为 0.185%，与地球传统椭球相比，基本可满足火星地图投影变形分析和数值计算的精度要求。
3) 对于不同经差的火星高斯投影，经差越小，基于椭球模型计算的长度相对误差越小；而且火星高斯投影的长度变形恒为正。
4) 结合将来实际火星测量精度的要求，初步提出了火星地图分带方案，取带宽为 6˚、15˚、24˚作为精度标准带宽。但由于火星投影的选择与分带设计是十分复杂的工程，需要后续广泛论证和在实践中进一步完善。
03
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