近年来，加密货币市场经历了爆炸式增长，其总市值从2009年比特币诞生之初的零增长到2024年4月的1.2万亿美元。如此巨大的市场规模引发了广泛的社会关注，也为经济学研究提出了诸多问题。尽管学术界和业界已经有了不少关于加密货币的研究，但大多数研究要么局限于实证分析，要么基于局部均衡分析，鲜有文献从一般均衡视角探讨加密货币的内在价值与定价机制。而这恰恰是理解加密货币本质属性和风险特征的关键所在。另一方面，尽管许多研究将加密货币价格的大幅波动归因于投资者的非理性和投机行为，但这些看法往往缺乏理论支撑。事实上，即便在所有参与者都是理性的情况下，资产价格也可能出现波动和泡沫。
在此背景下，Bruno Biais等人2023年在《Journal of Finance》发表了一篇题为“Equilibrium Bitcoin Pricing”的文章，为加密货币的定价问题提供了一个简约而不失一般性的理论分析框架。本文主要探讨了以下三个问题：
基于世代交替模型，本文系统地刻画了现实中影响加密货币价值和使用的关键特征，其中包括交易效用、交易成本、币量稀缺性、双重支付风险等。在此基础上，文章从理性预期均衡的角度对上述问题给出了理论上的回答：由于加密货币的基本面价值取决于人们对其未来交易效用的预期，而这种预期本身又受到当前价格的影响，因此这种自我实现（self-fulfilling）的循环关系会导致均衡中出现内生不确定性。换句话说，即便所有投资者都是风险中性且完全信息的，仅仅由于预期的自我实现，加密货币价格也可能发生波动。
自我实现（Self-fulfilling）是一种经济学概念,指人们对某种经济现象的预期会促使这种现象发生,从而使最初的预期得到验证。它强调信念在经济波动中的重要作用。David Cass和Karl Shell在1983年发表的论文《Do Sunspots Matter?》中提出了“日斑均衡”(sunspot equilibrium)的概念。从均衡的角度论证了,即使经济的基本面没有随机性,仅投资者的信念发生随机变化,也会通过自我实现的机制导致资产价格波动,从而解释了资产价格的超额波动之谜。例如，本文中考虑了投资者对加密货币崩盘风险的自我实现。一旦投资者主观地认为未来崩盘风险上升，则现价会下跌，而下跌则会引发投资者加大对崩盘的风险估计。
此外，为了从数据层面评估模型的解释力，文章还手工收集了影响比特币交易效用和交易成本的相关事件，并以此构建了基本面指标。
作者构建了一个世代交替模型来刻画加密货币定价的一般均衡：每一期都有新的投资者出现，他们利用初始禀赋在加密货币、法定货币和无风险资产之间进行配置，以实现跨期效用最大化。年轻人在第二期变老后，投资者出售其货币资产并用以消费。
持有加密货币一方面可以带来一些法定货币所不具备的交易优势，如规避资本管制等；但另一方面，它也面临比法币更高的交易费用、被盗风险等额外成本。为了体现这些特征，本文引入了矿工和黑客两类角色：前者通过挖矿和收取交易费获得新发行的加密货币，后者则试图从中盗取一部分。
此外，作者还假设加密货币存在崩盘风险，即在每一期加密货币的价格都有一定概率跌至零值，而法币价格始终为正。这种崩盘可能源于技术缺陷、遭受攻击或监管打压等基本面因素，也可能源于投资者风险信念的自我实现。通过引入这一冲击过程，作者可以探讨预期变迁和泡沫崩溃等因素对均衡价格的影响。
在第二部分中，作者探讨了模型的均衡特征。他们首先给出了均衡的一般定义，然后重点分析了两类均衡：常数价格均衡和波动价格均衡。在分析过程中，作者采用了反向归纳和动态规划的方法，并运用Markov完善均衡的概念来刻画价格动态。
一般均衡。作者从投资者的跨期效用最大化问题出发，推导出了加密货币定价的欧拉方程。该方程表明，加密货币的均衡价格等于未来价格和净交易效益的贴现值之和的期望。它与标准的资产定价模型很相似，但有一个关键区别：股票等传统资产的基本面源于外生现金流，而加密货币的基本面却依赖于内生交易效益。这意味着，即便在基本面不变时，对未来价格预期的变动也会引发价格波动。换句话说，人们之所以愿意持有加密货币，是因为预期未来还会有人以更高的价格购买它。这种自我强化的机制为价格波动埋下了伏笔。
风险规避情形下的常数价格均衡。作者从一般偏好入手，分析了加密货币和法币价格在加密货币崩盘前保持不变的特殊均衡。他们给出了均衡存在的充要条件（即两种货币的需求函数曲线存在交点），并证明了两个直观的结论：一是崩盘风险越大，投资者需求越低，均衡价格就越低；二是交易效用越高，投资者需求越高，均衡价格就越高。此外，作者还论证了即便面临崩盘风险，加密货币也能提供正的风险补偿（因为在崩盘来临前，持币者可以获得超额回报）。
在几种特殊偏好设定下，均衡条件可以进一步简化并得到解析解。
幂效用函数。在幂效用函数的特殊情形下，常数价格均衡的数量取决于崩盘概率的上限，即投资者信念的不同可能带来多重均衡。这意味着，即便模型的参数已知，均衡也可能不唯一。不同的均衡反映了投资者对崩盘风险的不同预期。此外，相对风险厌恶系数越高，均衡价格就越低，因为风险厌恶程度越高，投资者要求的风险补偿也就越高。
对数效用函数。在对数效用函数下，均衡价格存在显示解，且加密货币占总财富的比重恰好等于贴现因子。作者还发现，当加密货币市值相对法币市值较小时，风险中性的情形下，该模型会有较好的估算分析。
最后，作者通过数值模拟直观展示了不同参数对均衡价格的影响。他们发现，随着交易效益的提高或崩盘概率的下降，均衡价格会显著上升。相对风险厌恶系数的提高则会降低均衡价格。
波动价格均衡。在更一般的均衡中，加密货币价格可以在崩盘前发生变动。作者重点刻画了一类由sunspot驱动的波动均衡：人们对崩盘概率的信念可以随机变动，但从某一期起将保持不变。为求解这类均衡，作者采取了反向归纳法，并巧妙运用最优化理论将问题分解：首先，从崩盘概率稳定的最后一期倒推，对于一系列可能的崩盘概率，可以得到一系列对应的常数价格均衡。这为该期的状态空间划分提供了基础。接下来，运用动态规划的思路，根据各状态（即崩盘概率）下的价格函数及其未来一期的转移概率，逐期倒推出此前各期的均衡价格。这一过程形成了一个状态变量驱动的马尔可夫完全均衡，其特点是当前的均衡价格不仅取决于当前状态，还取决于未来状态的分布。
风险规避情形。在给定的信念分布下，均衡价格函数是唯一的，但信念分布本身却存在多样性。这意味着，在整个动态博弈中可能存在多重均衡，其中某些均衡的波动性更高。这与前面的常数价格均衡分析相呼应，再次凸显了市场预期协调在加密货币定价中的关键作用。
风险中性情形。当投资者是风险中性时，均衡分析可以大大简化。作者证明，在完全信息下，欧拉方程的任意一组解都构成均衡。更有甚者，某个均衡价格过程与一列相互独立的非负随机变量的乘积依然是均衡。这意味着，人们总可以通过引入新的白噪音扰动来构造新的波动均衡。这一发现刻画了一个颇具启发性的“内生不确定性”现象：即便所有参与者都是风险中性的，也不存在信息不对称，仅仅由于市场情绪的变化，资产价格就可能出现波动。
风险中性情形下的凹交易效益函数。最后，作者考察了交易效用递减时风险中性均衡的特征。他们发现，只要崩盘概率不超过某一上限，均衡就必然存在，且均衡价格随交易效益的边际递减而下降。这一结果进一步揭示了交易效益与价格之间的内在联系。
均衡分析表明，在加密货币定价中，预期因素的作用不容忽视。这既体现在常数价格均衡中均衡数量与信念分布的关系上，也体现在波动价格均衡中情绪冲击对价格的影响上。特别地，在风险中性情形下，内生不确定性甚至可以完全驱动价格波动。这些发现极大拓展了人们对加密货币内在价值的认识，同时也为理解其价格波动提供了新的视角。
为了对模型预测进行验证，作者收集了一系列与比特币定价相关的实证数据。这些数据可以分为三类：比特币价格、交易量和区块链指标。
首先，作者从多家主要交易所收集了2010年7月至2018年12月期间的比特币日交易数据，并据此构建了以美元计价的日频和周频价格指数。如图1所示，比特币价格在样本期内经历了显著的上涨和波动，尤其是在2017年出现了明显的价格泡沫。
其次，作者还收集了比特币交易量数据，包括总交易量和排除“自我交易（属于同一参与者的地址之间的转账）”后的净交易量。图2展示了估算出来的比特币日交易量的时间序列图。
此外，作者还从区块链上直接采集了一些指标，以刻画比特币交易的成本和效益。一个重要的指标是交易费用占交易额的比例，如图3所示。总体而言，该指标在大部分时间维持在较低水平，但在2017年底出现了显著的上升，这可能反映了当时交易拥堵导致的交易成本上升。
图3 日均矿工费占预计交易量的百分比
另一类区块链指标反映了比特币交易的安全性，如黑客攻击导致的币量损失。作者通过梳理公开报道的黑客事件，估算了每周被盗的比特币占总量的比例，如图4所示。可以看出，在整个样本期内，平均每周损失率约为0.04%，但个别时点的损失率远高于这一水平。
图4 比特币的日均黑客攻击、失窃和其他损失，占比特币供应量的百分比
为了量化影响比特币交易收益和成本的各种因素，作者还构建了两个综合指数：交易便利指数（MarketAccess）和交易效益指数（Benefit）。前者综合了与法定货币兑换难易度相关的事件，后者则囊括了影响比特币实际使用范围的各类事件。图5展示了这两个指数的时间序列图。总体而言，交易便利指数在样本期初出现了快速上升，而交易效益指数则在2013年末开始大幅增长，这些趋势性变化反映了比特币生态圈的逐渐完善。
图5 MarketAccess (right axis) and Benefit (left axis) indices.
综合以上数据，本文描绘了一幅比特币发展的全景图。一方面，比特币价格在过去几年中跌宕起伏，这可能反映了投资者对其未来前景的预期变化；另一方面，围绕比特币的基础设施也日趋完善，这更好的支持了比特币作为交易媒介发挥作用。这些发现为深入理解比特币的定价机制奠定了实证基础。
在建立理论模型并收集相关数据后，作者进一步利用前文构建的交易成本和效益指标对模型的关键参数进行了估计，并考察了模型预测与实际数据的契合度。
首先，作者基于风险中性的假设对模型进行了简化。尽管模型本身并不依赖于投资者的风险偏好，但在实证中考虑风险规避可能带来额外的挑战。作者指出，由于比特币市值在整个样本期内仅占全球财富的一小部分，因此假设投资者对宏观风险无差异（即风险中性）是一个合理的近似。事实上，正如Liu和Tsyvinski (2021) 所指出的，比特币收益与整体消费增长和工业生产指数的相关性并不显著。因此，在风险中性的假设下，模型可以简化为期望收益等于无风险利率的形式。
作者随后对交易效益和交易成本函数进行了特定的参数校准。具体地，他们假设交易效益与交易便利指数呈线性关系，交易成本则与交易费用占比和交易效益指数的倒数呈线性关系。此外，他们还假设黑客攻击导致的币量损失在每一期都等于其历史平均水平。最后，作者还引入了一个贝叶斯框架来刻画投资者对崩盘概率的预期。在该框架下，崩盘概率服从某种先验分布，而其后验概率则随着时间的推移而不断更新。
图6进一步展示了估计出的比特币需求回报的时间序列图。可以看出，校准后的模型能够较好地拟合比特币实际价格的长期趋势，尤其是2016年以来的快速上涨。值得注意的是，尽管交易效益的增长和交易成本的下降能够解释这一趋势的很大一部分，但崩盘概率的下降似乎发挥了更为关键的作用。这一发现与模型的预测一致，即投资者对崩盘风险的预期是影响资产定价的重要因素。
图6 模型拟合情况（该图绘制了经过平滑处理的比特币实际收益率，并将其与校准模型所隐含的所需收益率重叠）
为了更直观地理解不同因素对比特币定价的相对贡献，图7描绘了需求回报的分解图。总体而言，交易效益和交易成本的贡献相对稳定，而黑客攻击的贡献则相对较小。相比之下，崩盘风险的贡献在样本期初高达10%以上，但随着时间的推移快速下降并趋于稳定。这再次印证了贝叶斯学习在塑造市场情绪中的重要作用。
图7 比特币所需回报的组成部分（该图显示了比特币所需回报在所有模型变量中的分解情况。分解基于线性化模型。首图绘制了所需总回报，其余图将其分解为五个组成部分）
综合以上分析，校准结果支持了模型关于比特币定价的主要预测。一方面，交易效益和交易成本等基本面因素能够解释比特币价格的长期趋势；另一方面，投资者对崩盘风险的预期似乎在价格波动中扮演了关键角色。尽管模型对黑客攻击等特殊因素的刻画还比较粗糙，但它揭示的定价机制却具有一般性的启示意义。
当然，作者也指出，模型的解释力仍有进一步提升的空间。一个值得注意的现象是，实际价格的短期波动似乎远大于基本面因素所能解释的部分。通过计算可以发现，校准后的模型仅能解释实际价格波动的5%左右（校准模型预期收益率的标准差为 3.9%，而实际收益率的标准差要大得多，为 17.3%。因此，
为5.2%）。这意味着，在控制了基本面因素后，仍有相当大的一部分波动无法用模型来刻画。对此，作者提供了两种可能的解释：一是模型可能遗漏了某些重要的定价因素，如投资者情绪、市场流动性等；二是短期价格可能包含了更多的噪音交易成分，而这些非理性因素往往难以纳入标准的理论框架。
此外，作者还指出，由于加密货币市场的特殊性，当前模型对某些现象的解释可能并不令人满意。例如，校准出的交易效益和交易成本系数似乎高得不太现实。这可能源于模型对风险溢价的刻画还不够精确，或者说明在加密货币市场上，实际风险补偿远高于理论预测值。因此，未来有必要在模型中纳入更多的风险因子，以期获得更符合现实的校准结果。
本文构建了一个世代交替模型，探讨了加密货币的价格与其基本面（交易成本和收益)之间的关系。该模型不仅揭示了这些基本面因素应该如何定价，还强调了预期未来价格与基本面之间的相互作用。此外，模型还表明，均衡价格的波动性可能受到与基本面无关的外部波动性的影响。
为了对均衡定价方程进行校准，作者手工收集了包括影响比特币交易便利性的基本面事件在内的数据。利用这些数据，作者构建了比特币基本面的代理变量：交易成本和收益。研究表明，这些基本面因素是比特币收益的重要决定因素，并对它们在不同时期的相对重要性进行了定量衡量。与理论模型中均衡价格可能表现出外生波动的含义一致，校准结果也表明，价格变动的很大一部分无法用基本面的变化来解释。
鉴于比特币实现的超高收益率，校准得出的交易成本和收益非常大，甚至令人难以置信。这需要在现有框架的基础上进行扩展，以期更好地解释观察到的收益率。目前的校准依赖于一个简单的贝叶斯模型来刻画投资者对崩盘风险的信念。未来可以考虑更丰富的信念形成机制，例如允许信念差异，或者即使在长期没有发生崩盘的情况下也保持较高的崩盘概率。这些改进有望在更合理的参数设定下更好地拟合数据。
Biais B, Bisière C, Bouvard M, Casamatta C, Menkveld AJ (2023) Equilibrium Bitcoin pricing. Journal of Finance 78(2):967–1014.
Cass, David, and Karl Shell. 1983. “Do Sunspots Matter?” Journal of Political Economy 91 (2): 193–227.Liu， Yukun， and Aleh Tsyvinski， 2021， Risks and returns of cryptocurrency， Review of Financial Studies 34， 2689–2727.
原文链接：https：//onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/jofi.13206
