摘要 传统的拓扑优化方法依赖耗时的有限元迭代算法，其随着设计域的大小和设计变量的增加，计算时间呈指数增长，导致即所谓的“维数诅咒”问题。针对这一问题，本文提出了一种基于去噪的条件生成对抗网络（Conditional Generative Adversarial Network , CGAN）的实时拓扑优化方法，其使用由SIMP法生成的拓扑优化结构和对应的条件编码向量构成的数据集对模型进行训练，通过训练好的模型实现面向轻量化/3D打印的拓扑优化生成设计快速迭代。该方法可以根据设计变量条件几乎实时地生成拓扑优化结构，既适用于二维结构也适用于三维结构。
关键词：拓扑优化，生成对抗网络，3D打印，结构轻量化
1. 研究背景
随着装备轻量化和增材制造行业的迅猛发展，拓扑优化越来越受到人们的重视。结构拓扑优化的目的是为了在给定的设计域区域内，找到最为合适的材料分布，使优化结构具有一些特殊的性能。Prager和Rozvany [1]，Cheng和Olhoff[2]，Bendsoe和Kikuchi[3]，Zhou和Rozvany[4]等对于拓扑优化做出开创性的贡献。拓扑优化方法主要包括各向同性材料法SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)[5-7]，水平集方法(Level set)[8,9],渐进结构优化法ESO(Evolutionary Structural Optimization method)[10]。目前上述方法已成功应用于装备轻量化、3D打印、电磁结构、声学结构等多个领域。
目前所有的拓扑优化算法均面临一个难题，即如何有效提高计算效率。然而，传统的拓扑优化方法存在一个固有的缺陷：“维数诅咒”。即当设计的参数变量和迭代步骤增加时，计算机所需要的时间和内存将呈指数增长。这导致拓扑优化难于用于大规模工程问题求解。目前已有许多研究工作着手解决这一棘手问题。比如大连理工大学郭旭团队提出的多重组件（MMC）方法[11，12]，可大幅降低设计变量的个数，提高计算效率。但这些方法仍需依赖于多次迭代优化，非常耗时。因此有必要发展实时拓扑优化方法。
近些年来，基于机器学习的数据驱动的实时计算力学已经成为一个热门领域。Schimit在上世纪60年代的工作是使用机器学习解决结构优化问题的先驱[13,14]。到目前为止已经有很多借助机器学习的方法来解决拓扑优化问题的相关研究。可以根据使用过程中是否包含有限元分析（FEA）将上述研究工作分为两类，第一种研究方案是在拓扑优化求解过程中先通过少量的有限元迭代分析得到粗糙解作为机器学习模型的输入，输出为拓扑优化精确解[15-17]；第二种研究方案是将设计域大小和设计变量作为机器学习模型的输入，直接通过机器学习模型来预测实际拓扑优化结果[18-20]，其中常用的机器学习模型包括卷积神经网络（CNN）,对称卷积神经网络(U-NET)和生成对抗网络（GAN）。
本文提出了基于CGAN的实时拓扑优化生成设计方法，其结合了生成对抗网络（Generative Adversarial Network , GAN）泛化能力强的特点和卷积神经网络(Convolutional Neural Networks, CNN)可生成满足指定要求结构的特点。通过使用预训练的CGAN模型，我们可以实时的得到满足设计要求的拓扑优化结构。
2. 基于去噪CGAN的实时拓扑优化
2.1 数据集准备
采用SIMP方法来生成用于实时拓扑优化的训练集、测试集和验证集，本案例的设计变量为集中载荷、分布载荷和位移边界条件。通过调整位移和载荷边界条件的大小，组合不同位移和载荷边界条件，总共生成了16525条二维拓扑优化数据。数据集中的条件设置和拓扑优化结构如图2.1所示，左图为载荷条件（竖直色块）和边界条件（倾斜色块），右图为SIMP算法得到的拓扑结构。
图2.1 力与边界条件示意图（左），SIMP方法产生的拓扑优化结构示意图（右）
除此之外，需要对载荷条件和边界条件进行编码作为模型的输入，在制定编码规则时要避免条件编码带来新的“维数诅咒”，即不合理的条件编码方案导致的条件向量过大，进而导致模型难以从输入的条件中学习到有效的信息，从而导致模型训练困难。本案例所使用数据集的设计变量包括载荷条件和位移边界条件，其中载荷条件中分布力或集中力的取值范围为0-5000 N，位移边界条件包括固定约束边界和自由边界。由于载荷条件和位移边界条件在x、y方向上具有不同的分布，我们为每种条件变量在x、y方向上分别分配一条编码通道，则载荷条件编码通道包括与，位移边界条件编码通道包括与。载荷条件编码按照节点位置实际的载荷大小进行设置，位移边界条件按照节点位置的约束情况进行设置，若节点为固定约束则将其1，若节点位移自由则设置为0。如图2.2所示，数据集中设计域的尺寸为80*80，考虑设计域中边界上的所有节点，则每条编码通道的长度为79*4；条件编码后共包括4条编码通道，则条件编码向量最终的长度为1264。
图 2.2 设计域网格节点示意图
2.2模型网络结构
图2.3 去噪的CGAN生成器模型，FC代表全连接，Deconv代表反卷积
去噪的CGAN模型由生成器和判别器两部分组成，其中生成器的网络结构如图2.3所示。我们参考Pix2pix GAN中的设计，去除随机噪音，直接将长度为1264的条件编码作为生成器的输入，这提高了模型训练的稳定性。输入数据首先经过全连接层，变成 的一维向量，其中是通道数的权重，可根据设备内存大小进行调整。全连接层后的是为了避免训练过程过拟合所设置的随机删减Dropout层，经过Dropout层的数据被重构成 ，再经过反卷积层Deconv，其中反卷积层后的激活函数为Relu激活函数。经过4层反卷积运算，生成器最终得出[80,80,1]的灰度图。
图2.4 去噪的CGAN判别器模型，FC代表全连接，Conv代表卷积层
判别器的网络结构如图2.4所示。判别器的输入为条件标签与生成器生成的拓扑优化结构或真实拓扑优化结构拼接重构后的二维矩阵。具体拼接过程如下：将尺寸为1×80×80的生成器生成的拓扑优化结构或真实拓扑优化结构展开重构为长度为6400的一维向量，将重构后的向量与对应的长度为1×1264的条件编码向量进行拼接形成长度为7664的一维向量。为了可以将其重构便于卷积计算的二维矩阵，用长度为80数值为0的一维向量进行拼接补全，即得到7744大小的一维向量，最终将拼接重构后的向量重构为1×88×88的矩阵作为判别器的输入。判别器的网络结构包括4层卷积层和1层全连接层，其中激活函数选用参数值为0.2的LRelu激活函数。的矩阵输入判别器后首先经过4层卷积运算变为，最后经过一层全连接层后输出，其中是通道数的权重，可根据设备内存大小进行调整。
2.3 去噪CGAN算法介绍
传统GAN在训练过程中存在各种问题，如梯度消失，梯度爆炸，生成图片缺乏多样性等，导致其训练不稳定或不收敛。为此，本文将原始GAN中生成器的JS散度或KL散度替换为Wasserstein距离，这样做的好处是即使两个分布没有重叠部分，Wasserstein距离依然能够反映出他们的远近距离，避免了训练过程中生成器无法训练的问题。然而仅引入Wasserstein距离并不能完全解决训练过程中的梯度消失和梯度爆炸问题，所以需要在其基础上进一步改进可引入梯度惩罚项：
（2.1）
令值为1，在原有损失函数的基础上进行加权合并，最终得到模型损失函数为：
（2.2）
其中 
。
传统的条件GAN会引入噪声，并且将噪声与条件进行拼接作为网络输入，本文所提出的CGAN去掉了噪声，只输入条件。训练过程中，判别器每训练5次，生成器训练1次。整体算法流程描述如表2.1所示。
表4.1 去噪的CGAN算法流程
3. 模型训练结果及分析
3.1 实验结果对比分析
实验在上文所述的16525对拓扑优化数据集的基础上进行。训练集与测试集比例设置为0.89:0.11，即14708条数据用于训练，1817条数据用于测试。CGAN模型使用Tensorflow深度学习框架构建，训练在NVIDIA RTX2080Ti上进行，根据实验条件和数据集规模将batchsize设置为128，共设计100个迭代轮次。
模型完成训练之后，使用测试集对其进行测试，CGAN模型预测的拓扑优化结构与SIMP法预测的拓扑优化结构对比如表3.1和表3.2所示，其中表3.1展示了某些精度较高的拓扑优化预测结果，表3.2展示了某些精度较低的拓扑优化结构预测结果。
表3.1 CGAN模型预测的精度较高实验结果
方法 |
拓扑优化结果 |
CGAN |
|
SIMP |
|
表3.2 CGAN模型预测的精度较低实验结果
3.2 实验定量分析：
定量分析验证本文所提出方法的有效性，采用常用的图像质量的评价指标最大峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）以及结构相似性（Structural Similarity Index，SSIM）对实验过程进行分析。在模型训练过程中每隔10个轮次计算一次PSNR和SSIM值，得到的PSNR和SSIM随着迭代步数变化曲线如图3.1和图3.2所示。从图中可以看到，在迭代轮次100之后，曲线较为平稳，算法趋于收敛。
图3.1 结构相似性SSIM随迭代次数变化曲线
图3.2 最大峰值信噪比PSNR随迭代次数变化曲线
表3.3 CGAN实验中的SSIM以及PSNR数值表格
EPOCH |
30 |
80 |
120 |
150 |
SSIM |
0.747 |
0.823 |
0.839 |
0.847 |
PSNR |
15.40dB |
18.37dB |
18.942dB |
19.64dB |
不同迭代轮次下CGAN生成优化结构对应SSIM和PSNR值对比如表3.3所示。从以上图表中可以得出SSIM的最大值约为0.847，PSNR最大值约为19.64dB。由以上实验数据可证明CGAN算法可以实时有效的进行预测拓扑优化结构，其能够辅助设计人员快速完成在相同设计域上的不同拓扑优化设计方案迭代，这在实际工程中具有重要意义。
4. 基于去噪CGAN的三维拓扑优化结构预测
上文所提出的CGAN方法同样可以适用于三维结构的拓扑优化。本节给出如下案例：使用CGAN方法对尺寸为4×20×60的三维设计域进行结构拓扑优化预测，在该设计域中位移边界条件固定，设计变量为载荷数量、载荷位置、体积保留率。我们共取得了391对该工况下的拓扑优化数据，其中训练集与测试集比例为0.9：0.1，即352对数据用于训练，39对数据用于测试。结构拓扑优化结果数据以取值范围为[0, 1]的单元材料密度值表示。
为了准确的对拓扑优化结构进行预测，我们需要对设计变量进行条件编码，本文在此提出一种由位移/载荷条件和体积保留分数由两部分组成的编码规则，其具体规则如下：
（1）位移/载荷条件：
仅对存在约束条件或载荷条件的表面进行编码，将存在位移边界约束的节点值设置为1，将存在载荷的节点值设置为10，其余自由节点值均设置为0，若设计变量包括载荷大小，也可将载荷节点的值设置为载荷大小。
（2）体积保留分数：
设置一个长度为20的一维向量，为了对不同体积保留分数特征进行有效识别，将该一维向量的值设置为体积保留分数的十倍。
本案例中载荷条件位于梁的上表面，位移约束位于梁的下表面，其余各个表面均无边界条件，故仅对上下表面进行编码即可。本实验中上下表面大小均为4×60，故位移/载荷编码部分的编码大小为2×4×60；体积保留率部分的编码大小为1×20，将两部分展开、拼接后形成总长度为1×500的条件编码向量。
本案例使用与上文相同的模型网络结构，只针对设计域和条件编码大小调整了生成器与判别器中各层网络的输入、输出尺寸，使用与上文相同的训练方式对三维案例进行训练。部分测试集的预测结果如表4.1所示，这证明了CGAN同样适用于三维结构实时拓扑优化。
表 4.1 CGAN和SIMP生成的三维拓扑优化结构对比
本文结合GAN和CNN提出了一种基于CGAN的实时拓扑优化生成设计方法，可以几乎实时地根据设计要求生成对应地拓扑优化结构。与传统地拓扑优化方法相比，本文所提出的方法避免了耗时的较多的有限元分析计算过程，这一方法在面向轻量化/3D打印的生成设计过程中能够帮助设计人员几乎实时的得到所需的拓扑优化结构，有助于提高产品设计效率。5. 结论
参考文献
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作者简介：
赵金彪，大连理工大学汽车工程学院在读硕士生，研究方向为与机器学习结合的结构优化分析
祝雪峰，大连理工大学汽车工程学院副教授，博士生导师，主要研究方向为复杂工业装备的等几何分析（IGA）及智能优化设计
张向奎，大连理工大学汽车工程学院副教授，博士生导师，主要研究方向为CAE 基础软件开发平台
胡平，大连理工大学汽车工程学院教授，博士生导师, 主要研究方向为工业CAE仿真和软件开发、等几何分析