【导读】48小时，50年数学谜题就被破解！AI与全球数学家梦幻联动，从游戏分硬币到正方形填充，层层拆解埃尔德什遗留难题，人机协作彻底引爆了数学研究新范式。
AI再次攻克数学难题——埃尔德什问题#1026（Erdos #1026）已获正式证明。这一困扰数学界长达50年的猜想，在AI辅助下，由全球数学家协作仅用48小时便成功解决。
陶哲轩在博客中详细讲述了这一突破性进展，并强调：此次AI的作用不仅是检索文献，而是生成全新的数学洞见。Harmonic公司也确认其AI系统Aristotle参与了证明过程。
Erdos #1026问题
1975年，传奇数学家保罗·埃尔德什在论文角落提出一个问题，半个世纪后编号为“#1026”，长期悬而未决。直到2025年12月，一群数学家借助AI工具，在48小时内完成破解。
原问题形式抽象：给定一串不同的实数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)，定义 \(S(x_1,\ldots,x_n)\) 为所有单调子序列（递增或递减）的最大可能和。该函数有何性质？
问题初现时表述模糊，引发困惑。2025年9月，网友Desmond Weisenberg将其转化为一个直观的“硬币游戏”：
Alice有N枚硬币，分成n堆（每堆可不同）。Bob可选取一个单调子序列（递增或递减）并拿走这些堆的所有硬币。问：无论Alice如何分堆，Bob至少能拿到总硬币数的多少比例？
这个比例记作 \(c(n)\)，目标是确定其精确值或下界。
从n=3到平方数猜想
通过分析小规模案例，Stijn Cambie发现：若Alice将硬币分为 \(k^2\) 堆，并排列成k个递减块（每块k堆），块间递增，则最长单调子序列长度仅为k，因此Bob最多获得 \(1/k\) 的比例，即 \(c(k^2) \leq 1/k\)。
另一方面，Wouter van Doorn利用已有理论得出下限：\(c(n) \geq (1/\sqrt{2})/\sqrt{n}\)。由此，\(\sqrt{n} \cdot c(n)\) 的极限位于 \(1/\sqrt{2}\) 与1之间。
Stijn进一步手算多个小n值后大胆猜想：\(c(k^2) = 1/k\)，意味着当n很大时，Bob可稳定获得约 \(1/\sqrt{n}\) 的比例。
AI出手：自动证明与人类智慧结合
2025年12月7日，Boris Alexeev使用AI系统Aristotle，在Lean证明语言中自动证出 \(c(k^2) = 1/k\)。几乎同时，Koishi Chan给出了简洁的人类可读证明——“膨胀法”。
至此，上下界一致，猜想得证。更令人惊讶的是，该结果早在2016年已有论文提及，引用了Wagner对埃尔德什-塞凯赖斯定理的研究，但未被关联至#1026问题。
AI登场：猜出完整公式
陶哲轩随后使用AlphaEvolve系统探索 \(c(n)\) 的通项公式。AI构造出使S最小化的序列，计算出n=1至16的数值结果。
经整理后模式显现，Boris提炼出精确公式：
该公式基于“红蓝”数值块交替排列的极值构造方法，有效控制单调子序列长度。图像显示 \(1/c(n)\) 是对 \(\sqrt{n}\) 的分段线性逼近。
连接经典：正方形填充问题
Lawrence Wu指出，此问题等价于埃尔德什问题106——正方形填充问题。他证明：\(c(n) \geq 1/f(n)\)，其中 \(f(n)\) 表示边长为S的大正方形内互不重叠的小正方形最大数量。
通过AlphaEvolve生成的序列，可构造对应的正方形填充图示，直观展示数学结构。
最后一击：文献中的完整解
Lawrence借助AI深度搜索，找到Baek、Koizumi、Ueoro于2024年发表的论文，其中证明：\(f(k^2 + 2c + 1) \leq k + c/k\)。结合Praton的嵌入论证，推出：
\[ c(k^2 + 2a + 1) \leq \frac{k}{k^2 + a} \]
该上界与此前下界完全吻合，最终完成通项公式的严格证明。
AI+人类：48小时极限突围
陶哲轩指出，这一突破的关键在于全球协作网络的形成——不同背景的研究者、AI工具与历史文献在短时间内高效协同。
传统模式下，单靠少数数学家手工推导可能需数周甚至数月；而在本次合作中，所有关键线索在48小时内汇聚成型。
核心贡献包括：
- 数值计算揭示有理数规律；
- 归一化处理暴露潜在模式；
- 识别问题为Erdős-Szekeres定理的加权版本；
- 联系Seidenberg的矩形填充证明；
- 建立与正方形填充问题（Erdős #106）的等价关系；
- 引用Baek-Koizumi-Ueoro对#106的最新成果；
- 利用Praton的工作建立广义蕴含关系。
此外，“埃尔德什问题网站”开放且透明的AI使用政策，鼓励公开说明AI辅助情况并要求人工验证，为高质量协作提供了制度保障。
一道尘封50年的数学难题，在2025年末因人机协同与全球智慧联动得以圆满解决。这不仅是一次技术胜利，更标志着数学研究新范式的到来。