基于量子霍尔效应发展而来的拓扑绝缘体是凝聚态物理重要的科学前沿之一。其最为鲜明的特点是存在拓扑非平庸的能带结构，通常由拓扑不变量描述。量子反常霍尔效应（又称陈绝缘体），无需外磁场和朗道能级，因而有更高的实际应用价值。对应的拓扑不变量为第一陈数，由贝利曲率在布里渊区上的积分给出，描述系统的整体拓扑性质。当波函数不存在奇点时，积分将严格为零，导致拓扑平庸的绝缘态。
为了对陈数有更加深入的了解，北工大理论物理系博士生常治文，在导师刘鑫教授和北航物理学院郝维昌教授指导下，基于两带模型提出了一种新的拓扑规范理论[1]，关注于拓扑缺陷的微分结构。以哈密顿量和布洛赫波函数为基本场，构造 ’tHooft单极模型，波函数的奇点诱导出单极（monopole）和半子（meron）两种拓扑激发。经计算发现，在单极缺陷处，系统能隙闭合，处于金属态；此时将有拓扑相变发生。在半子缺陷处，系统具有有限大小的能隙，处于绝缘态；但同时能带具有非平庸拓扑，半子的拓扑荷将给出系统的陈数。该理论能够给出与文献中相同的结果，同时为实现高陈数模型提供了新的思路。
将上述理论应用于下面的模型中，得到了与文献中相同的结果
hx = sinkx , hy= sinky , hz= m + coskx + cosky
单极拓扑激发是一种三维拓扑缺陷，其位置坐标满足hx =hy = hz = 0。在这些奇点处，系统能隙为零，发生拓扑相变。半子是一种二维拓扑激发，其位置坐标满足hx =hy = 0， hz≠ 0。通过观察矢量场(hx , hy)在半子周围分布，可得到其拓扑荷（图1）。进一步，根据hz在半子处的取值，将得到不同能带的陈数（表1）。
图 1：半子拓扑缺陷是一种二位拓扑激发：(0,0)/(π,π)处为源点/汇点，拓扑荷为+1；(0, π)/(π,0)处均为鞍点，拓扑荷为-1。方框区域为第一布里渊区。
表格 1：导带和价带的陈数
实现高陈数的量子反常霍尔效应是当前研究的重点方向之一。无耗散的边缘态（即纵向电阻为零）可用于设计集成电路中的连通器，其性能主要依赖于边缘态与正常金属电极之间的接触电阻。陈数越大，接触电阻越小，器件性能越高。2020年，实验上在多层结构中实现了高陈数[2,3]：将多层相同的量子反常霍尔薄膜堆叠在一起, 中间由普通绝缘体层隔开,可形成具有等效高陈数的体系。如果未来能够在单层结构中实现高陈数，将会是一个重要的突破。我们提出如下高陈数模型，并利用拓扑激发计算陈数，得到的结果与传统计算方法相同。
hx = sin2kx , hy= sin2ky + sinky, hz = m + cos2kx+ cos2ky + cosky
单极拓扑激发位于能隙闭合处，系统发生拓扑相变；半子的拓扑荷由矢量场(hx, hy)的分布确定（图2）。
图 2：高陈数模型中的半子拓扑激发：(0,0), (0,π),(π,0), (π,π)处均为源点，拓扑荷为+1; (π/2,2π/3), (π/2, 4π/3), (3π/2, 2π/3), (3π/2, 4π/3)处均为汇点，拓扑荷为+1;(0, 2π/2), (0, 4π/3), (π/2, 0), (π/2, π) (π, 2π/3), (π, 4π/3), (3π/2, 0), (3π/2,π)处均为鞍点，拓扑荷为-1。
根据hz在半子处的取值，给出不同能带的陈数：
物理上，该模型可能在单层长方晶格中同时考虑次紧邻跃迁和自旋轨道耦合实现。
[1] Zhi-Wen Chang, Wei-Chang Hao, and Xin Liu. A gauge theory fortwo-band model of Chern insulators and induced topological defects. Commun.Theor. Phys. 74: 015701, 2022.
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