一百多年前，有位叫挂谷宗一（Soichi Kakeya）的日本学者提出了一个奇思妙想：如果一名武士在上厕所时遭到偷袭，为了保证他有足够的空间挥刀应战，厕所的最小面积该是多少？此后，他把这一“脑洞”问题改编成了数学问题：将一根无限细、长度为1的针放在一个平面上，然后旋转180度，这根针可以扫过的最小面积是多少？这个问题一经提出，就引起了很多人的兴趣。于是，大家以挂谷宗一的姓为它命名，称之为“挂谷转针问题”，此后，数学家们提出了这个问题的一个相关版本，称为挂谷猜想（Kakeya conjecture），并成为现代数学中最著名也是最令人困惑的难题之一。
二、解决方案
在二维世界里，转针问题最容易想到的图形是直径为1的圆形，让一根长度刚好是其直径的针在内部旋转，但它的面积显然还称不上是最小的。挂谷教授的同事藤原松三郎和洼田忠彦紧接着提出，转针若在高为 1 的等边三角形中同样也能旋转一周。没过多久，匈牙利裔数学家朱利尔斯·鲍尔（Julius Pál）在 1921 年发表了相关证明，确认高为 1 的等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。
就在挂谷提出问题几年后，俄国数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）证明，如果你以一种非常特殊的方式排列你的针，可以构造一个看起来有刺的集合，它的面积是任意小的，这种神奇的区域被称为“贝西科维奇集”，其形状错综复杂，仿佛由无数碎片精心拼接而成。尽管它的面积可以无限趋近于零，但却足以支撑针的每一次旋转。
三、证明思路（二维）
针对如何使得转针扫过的面积尽可能的小，贝西科维奇想出了一个方法来削减该区域不必要的部分。这个方法技术性强且复杂，但基于他的想法的一种策略依赖于两个简单的思路。首先，考虑下面的等腰直角三角形，高为1，底为2，此刻我们暂时不管转针的360度旋转，而只关注一个简单的事实：如果我们将一根长度为1的针放在三角形顶部顶点，则三角形足够大到让针旋转完整的90度，即转针从三角形的一条（直角）边到另一条（直角）边的度数。
此时，第一个重要的思路，即我们可以在保留90度旋转的同时减少该区域的面积。策略很简单，我们将三角形从中间切开，然后将两半推到一起。
这个新图形的面积必定小于原图形，因为现在三角形的一部分重叠了，因此其面积定然小于刚开始的三角形面积。通过摆动转针，我们仍然可以将针指向之前指向的所有方向。只有一个问题：由于这两个部分是分开的，我们似乎无法像以前那样将转针旋转完整的90度。
这里就用到了第二个思路：由于假设转针无限细（面积为零），因此用一种“隐蔽”的方法可以将针从一侧移动到另一侧，并且不需要太多的面积，方法是将转针顺着N字形移动。
但这种移动方法还是需要扫过一部分面积，你可以在N的两个角上看到一个小扇形，但这里有另一个技巧，就是你可以通过拉长N字来缩小夹角，并以此缩小这个小扇形的面积。因此，理论上也就可以通过拉伸N字形来使额外面积尽可能的小。
回忆一下之前所说的，我们通过将三角形分成两个部分并使其重叠来减少面积。而问题在于，我们将90度角分成了两个独立的部分，导致我们无法将转针旋转完整的90度。现在我们可以通过添加适当的N字形来解决这个问题，以确保转针能够从一条边到达另一条边。
利用这种方式，转针仍然可以像之前那样旋转整个90度，只不过需要分两段进行。首先，针头旋转45度，并与左侧的垂直边缘对齐，接下来，沿着N字形（下图绿色虚线）移动到另一条边，一旦到达右侧边缘顶点之后，它就可以自由转动另一个45度了。
而想要让转针旋转360度，你只需添加该区域的旋转副本（见下图绿色）即可。
细节中还有更复杂的数学知识，但通过这两个简单的思路， 我们可以利用切割和移动来不断减少原始区域的面积，同时确保我们可以使用任意拉伸的N字形从一个部分到达另一个部分，来帮助我们在不断缩小的区域中移动转针，最终可以达到所想要的更小区域。
构造贝西科维奇集的方法有很多，最经典的是被称为“佩龙树”的技巧，它能够简化贝西科维奇的原始构造，以奥斯卡·佩龙（Oskar Perron）命名。想象一个高为 1 的等边三角形，并用上文类似的方法把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起（如下图所示）。这个新图形面积比三角形小，但在其中，上面两个尖角的每个角内都能找出长度≥1 的线段。接着，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫作佩龙树。如果重复这个步骤，把三角形分为 16 个，32 个，……， 2n 个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明随着步骤增长，图形面积无限趋近于 0。
至此，利用贝西科维奇集合似乎完美解决了挂谷转针问题。但是数学家们不想止步于此，他们开始关注这个集合本身的性质，尤其是它们的分形维度。
四、问题拓展
贝西科维奇的工作虽然解决了旋转针的具体问题，在一个 n 维欧几里得空间中，包含每个方向上单位线段的集合（即 Kakeya 集合）的最小可能维度是多少？挂谷猜想提出，这样的集合必须具有完整的 Hausdorff 维度 n ，也就是说，在 n 维空间中，它的维度不能小于 n 。在二维平面上，挂谷猜想已经得到了完全解决。1971 年，数学家罗杰·戴维斯（Roger Davies）证明，任何二维 Kakeya 集合的 Hausdorff 维度均为 2 。这一结果表明，在平面上，包含所有方向单位线段的集合不可能“太小”，其维度必须达到空间的满维。然而，当维度增加到三维及以上时，问题变得异常复杂。例如，在三维空间中，Kakeya 集合需要包含沿每个方向（即单位球面上所有点）的单位线段。这时，数学家们开始怀疑，是否仍然存在测度为零的 Kakeya 集合，或者其维度是否必须等于 3 ？这些问题推动了挂谷猜想向更高维度的探索。
而就在不久前的 2025 年 2 月，中国90后数学家王虹（Hong Wang）和约书亚·扎尔（Joshua Zahl）在 arXiv 上发布了一篇预印本，宣布他们成功解决了三维挂谷猜想。他们证明，在三维欧几里得空间中，Kakeya 集合的 Minkowski 维度和 Hausdorff 维度均为 3 ，这一成果完全验证了三维情况下的挂谷猜想，标志着该领域的一个里程碑。
王虹