1) Bose-Einstein statistics （波色-爱因斯坦统计）
粒子不可分辨，每个态上粒子数不受限制，第i个能级上的状态数
总的微观状态数i种状态数联乘
当粒子数很大时
拉格朗日乘子法，在约束条件下使Ω分布最大化，其变分为零
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
令
2) Fermi-Dirac statistics （费米-狄拉克统计）
把ni粒子分配到gi态上，粒子不可分辨且一个态只能存在一个粒子(Pauli不相容)，第i个能级上的状态数
总的微观状态数
同样适用拉格朗日乘子法
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
3) Boltzman-Maxwell statistics（玻尔兹曼-麦克斯韦统计）
把ni粒子分配到gi态上，粒子在每个态上数目不受限制且粒子是可分辨态，第i个能级上的状态数
N个粒子，当不同粒子交换后存在不同微观状态，同一个能级ni粒子，粒子交换不改变分布，因此有因子
，总的微观状态数
同样利用拉格朗日乘子法
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
由此可见经典系统不一定比量子简单，很多时候我们之所以对量子系统或者量子力学的理解不够深刻，源于我们对经典物理的一知半解。
上面的分析太数学了，下面举一个具体的例子进行说明。
某一物理系统中第i个能级中存在3个态(gi=3), 有2个粒子（ni=2）需要分配到这三个态上，看一下第i能级最终状态数wi
微观状态
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g1
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g2
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g3
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粒子分布情况枚举
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AA
|
||
AA
|
|||
AA
|
|||
A
|
A
|
||
A
|
A
|
||
A
|
A
|
微观状态
|
g1
|
g2
|
g3
|
粒子分布情况枚举
|
A
|
A
|
|
A
|
A
|
||
A
|
A
|
微观状态
|
g1
|
g2
|
g3
|
粒子分布情况枚举
|
AB
|
||
AB
|
|||
AB
|
|||
A
|
B
|
||
B
|
A
|
||
A
|
B
|
||
B
|
A
|
||
A
|
B
|
||
B
|
A
|
留给朋友们一个问题，为何这些统计模型都是指数函数？玻尔兹曼统计与玻色统计和费米统计之间内在联系是什么？
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