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【系列随笔11】波恩的遗憾

邃瞳科学云

2024-03-31

波恩的遗憾

北京航空航天大学物理学院郝维昌

1926年波恩和年轻的数学家维纳对矩阵力学算符形式进行了深入地研究^[1]。波恩和维纳从位置与动量的对易关系出发

将能量的形式表示为

的形式

确认了能量算符，即哈密顿量

表示如下

创新对任何学者都很不容易，即使是波恩和维纳这样的旷世奇才。向前一步看似简单，都需要有敏锐的直觉和极大的勇气。波恩作为矩阵力学的创始人，作为位置动量对易关系的最初的确认者，与维纳也没有通过对易关系确认动量算符形式

因此动量算符的形式如下

就可以得到哈密顿量的标准形式

将哈密度算符作用于波函数，就可以得到薛定谔方程标准形式

波恩在1962年10月17日接受采访时承认，他们从位置和动量的对易关系出发，将能量的形式表示为

，并通过

将能量和时间的对易写成恒等式，确定了哈密度算符的形式

。却没有认识到时间和能量与位置和动量对易关系的完全等价性，没有进一步确定动量算符形式

，波恩回忆道：“我永远不会原谅自己，因为如果我们这样做了就会在薛定谔之前几个月从矩阵力学得到整个波动力学”。

在相对论中时空是统一的，用闵可夫斯基空间来描述(c²t, -x, -y, -z)，能量和动量也是统一的是能动空间的对偶向量(H, -p_x, - p_x, - p_x)，满足洛伦兹变化的能动空间中全微分算子为

你一定会惊叹，量子力学的能量、动量算符与相对论的微分算子之间仅有的差别就是

！！！通过与相对论时空联系也能很容易的理解为何能量算符和动量算符总是有个负号的差别。这是一种巧合吗？

参考文献

[1] Max Born & Norbert Wiener Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nicht periodische Vorgänge Zeitschrift für Physik 1926, 36: 174–187

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