知识读本丨单期二叉树模型

*本文内容选自《场外衍生品知识读本》第四章《场外期权》。

假设标的资产为股票，无风险利率为r ，当期价格为S ，下期价格S_T 服从两点分布，即在时间T 内，股票价格S₁ 将上升到uS 或者下降到dS 。记R=1+r*T 。模型假设无套利，因此要求d＜R＜u 。对于任意收益结构为V 的期权（当股票上涨时，V=V₀ ，当股票下跌时，V=V₁ ）。考虑构造如下投资组合：N份股票和B元现金，则当期组合的价值为p=B+NS ，组合下期的收益基于股票上涨或下跌，可能为RB+NuS 或RB+NdS 。选取B 和N 使得组合的收益等于期权收益，即： 

RB+NuS =V₀，RB+NdS =V₁。

我们可以求解出：

B^*=(V₀-N^*uS)/R 。

根据无套利原理，期权价格PV=B^*+N^*S =(q₀V₀+q₁V₁)/R ，其中q₀=(R-d)/(u-d) ，q₁=(u-R)/(u-d) 。由于q₀ ，q₁ 满足q₀＞0 ，q₁＞0 ，q₀+q₁=1 ，因此q₀ ，q₁ 可以定义测度Q 使得：

Q (S_T=uS )=q₁。

利用测度Q （即通常所说的无风险测度），我们可以将期权价格写成如下形式：

PV=E^Q[V/R]

即期权价格PV可以表达为期权到期现金流的贴现值在无风险测度下的期望值。

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