知识读本丨蒙特卡洛模拟注意事项

*本文内容选自《场外衍生品知识读本》第四章《场外期权》。

在蒙特卡洛模拟中，需要着重关注两点：（1）对标的分布的近似；（2）计算期权收益的期望。考虑一个期权产品，到期日为T，挂钩标的为S（单标的或者多标的），标的价格路径记为S_t，无风险利率为r_t 。假设期权收益结构V（S_0-τ），随机变量τ 表示期权的终止日，S_0-τ 代表挂钩标的S 从初始时刻至终止日的价格路径。依据期权定价理论，可知期权的理论价格为：

其中Q 为无风险测度，E^Q 表示随机变量在无风险测度下的期望。通常情况下该期望值是不太可能计算出显式表达式的，因此需要求助于数值方法。

在某些简单的情形下（挂钩标的S 为单标的且其分布函数有显示表达式，期权终止日τ 为确定日期，无风险利率r_t 为确定性函数），上述期望值可以通过简单的一维数值积分方法求解。而在大多数更为复杂情况下，我们需要使用蒙特卡洛模拟方法数值求解该期望值。通常做法是模拟出标的价格过程S_t ，确定好每条路径的期权终止日期τ ，然后对模拟出的每条价格路径计算后再取平均值便可得到期权价格。

金融中的许多随机模型都可以归结为简单的扩散方程(可能有多个因子或维度)，我们以单因子局部波动率模型（一维扩散过程）为例，来阐述蒙特卡洛方法。假设标的价格S_t 服从如下的随机微分方程：

其中S₀=S ，W_t 为标准布朗运动。当 a(t, S_t)=μS_t，b(t, S_t)=σS_t时，局部波动率模型退化为著名的BSM模型，此时可以显式求解S_t 的表达式，因此可以直接使用公式进行迭代模拟。

对于更一般的情况，通常需要根据动态过程估计增量的分布。根据随机积分理论，有以下两种近似公式：

根据以上公式，衍生出两种离散差分方法：

（1）Euler方法：

（2）Milstein方法：

从近似公式可以看出，对于同样步长的差分，用Milstein方法进行差分近似的精度更高。我们在这里仅仅列出了两种差分方法，事实上，可以使用更复杂的数学运算得到更高阶误差精度的差分近似。选择差分公式后，结合合适的随机数生成算法，生成标的价格路径，而后在每条路径上计算后求解平均值得到期权价格。