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【系列随笔13】神奇的指数函数

【系列随笔13】神奇的指数函数 邃瞳科学云
2024-07-21
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神奇的指数函数

北京航空航天大学物理学院 郝维昌

指数函数ex，其导函数任然为本身：

级数表示：

若x不是实数，而是矩阵A，则eA仍为矩阵，那么：

1.  指数函数求解微分方程：

复利方程：

 

利率c是个实数，若t=0时本金为M0，则任意时刻t资本的函数：

若用级数展开：

其中，资本是标量，c为实数，驱动资本M0做无穷小演化。

2.   刚体绕原点o连续转动，t时刻刚体任一点，无穷小转动为

是矢量，因此R为矩阵，驱动初始位置为的矢量做无穷小转动：
转动保证矢量的长度不变，因此会极大限制转动矩阵形式，通过分析我们知道R为反对称矩阵。

3. 薛定谔方程:

变形一下：

薛定谔方程与形式完全一致
因此其波函数就可以用以下形式描述：

为Hilbert空间的矢量（复空间），H是哈密顿矩阵，与上面的反对称矩阵相对应哈密度矩阵必须是厄米矩阵。驱动量子体系含时演化，是无穷小酉变换。
至于指数函数与群的变换理论及傅里叶变换理论更是密切相关，容作者参透以后再与大家分享。

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