编者按：场外期权作为资本市场中的重要金融工具，为诸多市场主体与投资者提供了灵活的风险管理和收益增强手段，也正是因为其灵活性与复杂性，导致大众缺乏对场外期权的基础认知。中证报价投教基地推出“场外期权基础知识”专栏，邀请交易商深入浅出地介绍场外期权的基本概念、风险管理和定价机制，希望能够帮助大家更加全面地了解这一复杂而高效的金融工具。
作者：东方财富证券证券投资总部
▍蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟求解期权价格的方法是，基于随机采样生成大量标的资产价格路径，计算每条路径的期权收益，计算平均值并折现。蒙特卡洛模拟的思路是最直观的，因为它的算法和我们对期权的理解基本一模一样。如下图所示，每条路径都对应了一个特定的期权支付，如果买入期权的次数足够多，那么最终的收益应该收敛于这些路径到期支付的平均值。
除了香草期权之外，蒙特卡洛模拟法还适用于绝大多数路径依赖型的复杂期权。不过，期权结构越复杂，需要生成的模拟路径也就越多，数值计算的效率也就越低。一般而言，一个障碍期权至少需要几十万次的模拟，才可能求出较高精度的解——对于单机而言，这个过程是比较耗时的。
▍二叉树[1]
二叉树是树方法中最简单的一种，因为数值计算本身的复杂度，所以若无必要，一般不会用到更加复杂的多叉树模型。
二叉树模型将连续的资产价格变化简化为多个时间步长内的“上升”或“下降”两种离散状态，由此创建二叉树结构，如下图所示。对于这样一个二叉树来说，最值得关注的要素有两个，一个是每一步变动的幅度，另一个是每一步上升和下降的概率。
在风险中性的框架下，幅度和概率是一一对应的。要理解这一点，我们还得从风险中性的角度出发：因为所有资产的期望收益都等于无风险利率，所以如果确定了资产上升和下降的幅度，就能够反推出相应的概率，即风险中性概率。
关于变动的幅度，从直觉上来说可能与标的资产的波动率有关，事实上也是如此。具体的推导过程我们无需了解，只需理解幅度的设定满足了两个基本条件：（一）二叉树的中心节点恰好能够重合，这样能够大幅减少节点数量，从而降低数值求解的复杂程度；（二）随着时间步长无限细分，二叉树模型所描述的资产价格分布将趋近于对应参数下的对数正态分布。
在树结构构建完成之后，剩下的步骤就顺理成章了。无非是从期权到期日（树的末端）开始，逐步向前计算每个节点的价值。到期时的期权价值直接由标的资产价格与行权价确定，而更早节点的价值则通过风险中性概率加权下一层节点价值，并折现到当前时刻。
二叉树方法在美式期权定价上有天然的优势，这主要是因为在逆向回溯的过程中，能够对是否提前行权有一个判断。不过，二叉树方法的缺陷在于步数增加后复杂度发生剧增，基本上属于非必要不使用的方法。
注：
[1] Cox J C , Ross S A , Rubinstein M .Option pricing: A simplified approach[J].Journal of Financial Economics, 1979, 7( 3):229-263.DOI:10.1016/0304-405X(79)90015-1.
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