MATLAB|基于数据驱动的 Koopman 算子的递归神经网络模型线性化，用于纳米定位系统的预测控制研究

荔枝科研社

2025-12-15

导读：MATLAB|基于数据驱动的 Koopman 算子的递归神经网络模型线性化，用于纳米定位系统的预测控制研究

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📋📋📋本文目录如下：🎁🎁🎁

💥1 概述

📚2 运行结果

2.1 比较使用泰勒级数和Koopman算子进行线性化的准确性

2.2 预测控制，使用Koopman算子进行线性化，一个线性模型

2.3 预测控制，使用Koopman算子进行线性化，两个线性模型

2.4 预测控制，使用泰勒级数进行线性化

🎉3 参考文献

🌈4 Matlab代码、数据、文章

1概述

文献来源：

摘要：最近的研究表明，纳米定位系统（例如压电致动器（PEAs））的非线性动力学可以被循环神经网络（RNNs）准确捕捉。这项技术的一个直接应用是用于精密定位的PEA系统控制：将非线性RNN模型线性化，然后应用模型预测控制（MPC）。然而，由于常用的线性化方法（例如泰勒级数），所得到的线性系统仅在线性化点的小邻域内保证准确，因此控制带宽和控制性能相当有限。为了解决这个问题，我们提出了一种基于Koopman算子的线性化方法，然后使用所得到的线性参数变化模型进行预测控制。这种线性化方案可以显著减少MPC预测范围内的整体逼近误差，从而提高跟踪性能。我们通过两个应用验证了提出的方法——PEA的轨迹跟踪和原子力显微镜纳米压痕过程中聚合物的变形控制。

由于压电致动器（PEAs）的频率和幅度依赖非线性，设计宽带、高精度和计算效率高的实时控制器具有挑战性[1]，[2]。虽然迭代学习或重复控制可以实现对PEA的高带宽和高精度控制[3]，[4]，但它们不是实时控制器，即不能用于跟踪非周期性轨迹。困难在于获得具有小建模不确定性的高带宽模型。线性模型已广泛用于PEA跟踪，如滑模控制[5]、主动干扰抑制控制[6]等。然而，报告的控制带宽较低，通常小于100Hz，尤其在高频区域，精度不尽如人意。由于PEA系统本质上是非线性的，自然而然地使用非线性模型来捕捉系统动态。倒置模型，如Prandtl-Ishlinskii模型[7]、铁磁材料磁滞模型[8]，已被用于补偿非线性。然而，建模带宽仍然有限。最近，神经网络已被提出用于PEA系统动力学建模[9]，[10]。其中，循环神经网络（RNN）是一种能够以更高准确性模拟非线性PEA动态的方法[10]，基于它的非线性模型预测控制器的控制带宽可以达到数百Hz。然而，这种非线性模型预测控制器在计算上成本高且难以处理，因为必须解决一个非线性优化问题（通常是非凸的）。因此，本文关注改进基于RNN模型的控制器的计算效率。另一种选择是通过线性化原始非线性系统来避免非线性优化问题。泰勒级数在非线性系统线性化中被广泛使用[13]。然而，缺点是近似精度仅在线性化点的小邻域内得到保证。因此，随着预测范围的增加，建模不确定性将增加，从而限制MPC的性能。反馈线性化和平坦性也可用于线性化，但它们对于一般非线性系统并不有效[14]，[15]。其他选项包括Carleman线性化、“polyflow”和Koopman算子方法[16]–[18]。在这些方法中，只有Koopman方法是数据驱动的[19]，[20]。

详细文章见第4部分。

2运行结果

2.1比较使用泰勒级数和Koopman算子进行线性化的准确性

2.2预测控制，使用Koopman算子进行线性化，一个线性模型

2.3预测控制，使用Koopman算子进行线性化，两个线性模型

2.4预测控制，使用泰勒级数进行线性化

部分代码：%simN=900;%adda weight matrix We for the tracking errordwe=1-(1:Nh)/Nh+0.1;We=diag(dwe.^2);We=eye(Nh);fork=1:simN%systemdynamicsbetak=bxn(1:Nf);xk=bxn(Nf+1:Nf+Nrnn);etak=bxn(Nf+Nrnn+1:end);
%uk(k)=(y1range(2)-y1range(1))/(x1range(2)-x1range(1))*(uk(k)-x1range(1))+y1range(1);tmp=Cbar*betak/scale;bxn=[Abar*betak+Bbar*uk(k);tanh(W1*xk+B2+B1*tmp);Ae*etak+scale*Be*(W2*xk+B3)]+Gall*ek1;yk(k)=Call*bxn+ek1;ek1=measn(k)*0;
%stateestimation%SigmapointssqrtPk=chol(Pk,'lower');%cholesky factorizationxi=[xkhat repmat(xkhat,1,Nall)+gamma*sqrtPk repmat(xkhat,1,Nall)-gamma*sqrtPk];%Timeupdateuk_1=uk(k);betaki=xi(1:Nf,:);xki=xi(Nf+1:Nf+Nrnn,:);etaki=xi(Nf+Nrnn+1:end,:);tmp=Cbar*betaki/scale;xikk_1=[Abar*betaki+repmat(Bbar*uk_1,1,2*Nall+1);tanh(W1*xki+repmat(B2,1,2*Nall+1)+B1*tmp);Ae*etaki+scale*Be*(W2*xki+B3)]+repmat(Gall*ek,1,2*Nall+1);xkhat_=sum(xikk_1*WimMat,2);Pk_=Rv;fork1=1:2*Nall+1Pk_=Pk_+WicMat(k1,k1)*( (xikk_1(:,k1)-xkhat_)*(xikk_1(:,k1)-xkhat_)' );endykk_1=Call*xikk_1;%row vectorykhat_=sum(ykk_1*WimMat);%scalar%Measurementupdate    Pykayka=Rn;%yka means yk with ~ abovefork1=1:2*Nall+1Pykayka=Pykayka+WicMat(k1,k1)*( (ykk_1(:,k1)-ykhat_)*(ykk_1(:,k1)-ykhat_)' );endPxkyk=zeros(Nall,1);fork1=1:2*Nall+1Pxkyk=Pxkyk+WicMat(k1,k1)*( (xikk_1(:,k1)-xkhat_)*(ykk_1(:,k1)-ykhat_)' );endKk=Pxkyk/Pykayka;%Pxkyk*inv(Pykayka)---

3参考文献

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[1] Xie, Shengwen, and Juan Ren. "Recurrent-neural-network-based Predictive Control of Piezo Actuators for Trajectory Tracking." IEEE/ASME Transactions on Mechatronics (2019).[2] Xie, Shengwen, and Juan Ren. "Linearization of Recurrent-neural-network-based models for Predictive Control of Nano-positioning Systems using Data-driven Koopman Operators" IEEE Access (2020). DOI:10.1109/ACCESS.2020.3013935.