JCP | 西工大向锦鹏、宋述芳等：一种基于伴随代理模型的鲁棒一次性优化方法

一种基于伴随代理模型的鲁棒一次性优化方法

A robust one-shot method based on adjoint surrogate model for PDE-constrained optimization

向锦鹏^1,2,3曹文博^1,2,3宋述芳^1,2,3,*张伟伟^1,2,3,*

1.西北工业大学航空学院，西安 710072

2.西北工业大学流体力学智能化国际联合研究所，西安 710072

3.飞行器基础布局全国重点实验室，西安 710072

引用格式：
Xiang J, Cao W, Song S, et al. A robust one-shot method based on adjoint surrogate model for PDE-constrained optimization[J]. Journal of Computational Physics, 2025: 114562.

摘要

针对偏微分方程约束优化问题，一次性优化方法通过构建状态方程、伴随方程和设计方程的完全耦合系统进行同时求解，仅需O(1)量级的正问题求解成本即可完成优化设计，从而显著降低了计算成本。然而，完全耦合系统往往条件数较高，容易导致收敛缓慢甚至数值发散。本文提出了一种基于伴随代理模型的鲁棒一次性优化方法，其中代理模型用于替代伴随方程的求解，并嵌入到一次性优化框架中，以改善系统的病态性。在参数识别、反设计以及气动外形优化等三类基准算例上，该方法相较于经典的直接伴随循环方法实现了超过一个数量级的加速效果。本文重点揭示了伴随代理模型对一次性优化方法效率与鲁棒性的提升作用，为加速偏微分方程约束的优化设计问题提供了一条有效的技术路径。

一、研究背景

偏微分方程（Partial differential equations, PDEs）约束优化是许多工程设计问题的基础工具，其核心挑战在于如何在求解精度、计算效率与数值稳定性之间取得平衡。现有方法主要包括直接伴随循环（Direct adjoint looping, DAL）方法与一次性（One-shot）方法。DAL通过分别求解状态方程与伴随方程获得高精度梯度信息，但由于每次迭代都需完全收敛，计算成本极高。相比之下，一次性优化方法将状态、伴随与设计变量统一耦合求解，能够显著降低优化成本。然而，一次性优化的耦合系统往往高度病态，导致收敛困难甚至数值发散。近年来，基于人工智能的代理模型被用于加速PDE求解和优化，例如流场预测、降阶模型以及智能优化等。然而，此类集成代理模型的求解思路尚未在PDEs约束优化的一次性优化框架中得到应用。因此，本文提出将伴随代理模型嵌入一次性系统，利用已有的流场变量与伴随向量之间的映射模型，替代伴随方程的求解过程，缓解耦合系统的病态性并提高优化迭代效率。

二、研究方法

其中分别代表目标函数，设计变量与状态变量，为控制方程残差。考虑与公式（1）对应的拉格朗日函数：

因此，必要的最优条件为：

其中为伴随向量。将公式(1)通过泰勒展开线性化为：

公式（4）的解，可写为一个完全耦合的线性系统：

公式（5）可视为针对公式（3）所表示的最优系统的近似牛顿步。

本文提出了一种基于伴随代理模型的鲁棒一次性优化方法，所构建的代理模型用于替代伴随方程的完全求解，从而缓解原始耦合优化系统的病态性，优化框架如图2所示。

图2 基于伴随代理模型的鲁棒一次性优化框架

三、结果与分析

1.基于Poisson方程的条件数验证

根据公式（5），基于伴随代理模型的子系统可表示为如下形式：

完全耦合系统可表示为形式，子系统为。采用Poisson方程对本文所提出的方法进行数值验证。Poisson 方程的参数识别问题可表述为：

其中，分别表示状态变量、伴随向量及设计变量；表示状态变量与目标状态之间的平方差，其优化目标是在给定目标点处，使状态变量与目标状态一致，从而确定最优参数。

根据表1，相比于One-shot系统，基于伴随代理模型的子系统条件数降低了一个数量级以上，有效缓解了原始耦合系统的病态性问题。

表1 不同网格数下条件数对比

2. Poisson方程参数识别算例

图3与图4比较了DAL、One-shot与本文方法在不同步长下的迭代过程。结果表明，本文方法在小步长下显著加速了One-shot 方法初期收敛缓慢的问题；在较大步长下，经典One-shot发散，而基于伴随代理模型的方法依然保持良好收敛性，展示了其显著的效率优势与鲁棒性。图5显示本文方法能够在保持高效率的同时获得与DAL一致的优化结果。以一次正问题迭代的计算成本作为基准(factor=1)，表2给出了DAL与本文方法的迭代次数对比。相较DAL方法，本文方法仅需1.01次正问题求解即可完成优化，实现了16.8倍的效率提升。

图3 不同方法残差迭代曲线

图4 设计变量优化迭代曲线

图5 DAL(红色实线)与本文方法(绿色虚线)优化后状态变量对比

表2 正问题、DAL与本文方法优化迭代次数对比

3. 压力分布反设计算例

考虑马赫数为0.73、攻角为2.79°条件下，重构出给定表面压力系数分布的二维翼型(即RAE2822翼型)，初始翼型选取NACA0012。目标函数定义为最小化计算得到的表面压力系数与目标分布之间的平方差，设计变量由16个CST参数构成。

对于DAL方法，梯度需计算14次，目标函数需评估20次。由于伴随方程与状态方程的求解开销近似，DAL在整个优化过程中必须求解与目标函数对应的伴随方程。因此，DAL的总优化成本等价于factor=20+14=34次正问题求解。图6对比了目标函数与残差的收敛历史。本文方法仅通过8100次状态方程迭代便完成了整个优化过程，其计算量相当于1.65次正问题求解成本。如图7所示，本文方法与DAL得到的最优翼型及其表面压力分布几乎一致。此外，与DAL相比，本文方法在优化效率上实现了20.6倍的加速。

图6 不同方法迭代曲线对比

图7 优化前后结果对比

4. RAE2822带约束优化算例

考虑跨声速减阻设计，来流马赫数为0.73，迎角为2.79°。初始翼型选取RAE2822，目标函数为阻力系数，设计变量为16个CST参数。约束条件要求升力系数不降低，且面积不减少。

根据图8与图9，本文方法仅需29300次状态方程迭代（相当于5.97次正问题求解）即可完成优化，计算效率较DAL提升37.8倍。受代理模型精度影响，本文方法与DAL的优化翼型存在局部差异，但二者在减阻关键区域（前缘及上表面）形状保持一致，均获得无激波解。表3数据表明，两种方法的阻力系数相差4.4counts，升力系数几乎相同，气动特性接近。进一步通过DAL验证优化外形，继续迭代，发现本文所提方法优化得到的外形为局部最优，验证后压力分布与DAL一致（如图10所示），目标函数误差低于1count。

图8 不同方法迭代曲线对比

图9 优化前后结果对比

表3 优化前后气动力系数对比

图10 迭代曲线与压力分布对比

四、结论

本文提出了一种基于伴随代理模型的一次性优化方法。该方法利用代理模型替代伴随方程的完全求解过程，从而有效缓解原始耦合优化系统的病态性。数值验证结果表明，伴随代理模型的引入使条件数降低超过一个数量级。进一步在三个基准算例上进行了测试，包括参数识别、反设计与气动外形优化等问题。与DAL方法相比，该方法仅需1-6次正问题求解即可达到收敛。本文重点揭示了伴随代理模型对一次性优化方法效率与鲁棒性的提升作用，为数据驱动模型嵌入优化框架提供了新的思路。

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