ENG APPL COMP FLUID | 西北工业大学曹文博、张伟伟等：基于参数化神经网络求解器的层流翼型绕流代理模型

力学与人工智能

2025-12-08

基于参数化神经网络求解器的层流翼型绕流代理模型

曹文博^a,b,c, 唐诗翔^c, 马迁鸿^c,d，欧阳万里^c, 张伟伟a,b,e,*

a.西北工业大学航空学院，西安 710072

b.西北工业大学流体力学智能化国际联合研究所，西安 710072

c.上海人工智能实验室，上海 200232

d.上海交通大学数学科学学院，上海 200240

e.飞行器基础布局全国重点实验室，西安 710072

引用格式：
Cao W, Tang S, Ma Q, et al. A surrogate model based on parametric neural network solvers for laminar flows around aerofoils[J]. Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics, 2025, 19(1): 2559110.

编者按

近年来，PINNs在流体力学中备受关注，但在高维参数化与复杂流动问题中仍受制于优化病态与高训练成本。本文作者团队基于所提出的时间步进导向神经网络（TSONN），构建了层流翼型绕流参数化求解器，并训练得到具备强泛化能力的高效代理模型。该研究展示了参数化神经网络求解器在高维流体问题中的可扩展性，为工程层流气动分析提供了高效低成本的新方案，也为进一步攻克更复杂流动（如高雷诺数问题）奠定了基础。

一、摘要

物理信息神经网络（PINNs）已成为求解PDE相关正问题、反问题及参数化问题的重要方法。但其性能常受优化病态性的限制，时间步进导向的神经网络（TSONN）通过将原病态优化问题转化为一系列良性子优化问题，从而在复杂场景下显著提升了鲁棒性与效率。本文提出了一种基于TSONN的层流翼型绕流求解器，并在多组算例中完成了系统验证。结果表明，该求解器的升力系数平均相对误差约为 4.1%，阻力系数误差约为 2.2%。进一步地，本文将该求解器扩展至涉及流动条件与翼型形状的参数化问题，覆盖几乎所有工程场景中的层流绕流。该参数化求解器在4.6天内完成整个参数空间中所有层流问题的求解，其计算成本约为单个流场求解的40倍。模型训练过程中涉及数以亿计的流动条件与翼型形状，最终得到一个无需标签数据、具有强泛化能力的代理模型。该模型的升力系数平均相对误差为4.4%，阻力系数平均相对误差为1.7%，充分展示了其在高维参数化问题与代理建模中的强泛化性与高性价比。

二、模型架构

本文目标是构建一个能够覆盖大范围状态空间（包括流动条件和外形变化）的代理模型，从而为层流空气动力学问题提供高效的预测工具。如图1所示，该参数化求解器模型输入包括计算空间的坐标、雷诺数、迎角和外形向量s。考虑两种外形表示方式，第一种是上、下翼面分别使用6个CST参数表征，最终形成一个16维的参数化问题；第二种直接使用200个离散点的y坐标表示外形，从而导致一个高达204维的高维参数化问题。模型输出是速度分量u,v与压力p。

图1 基于TSONN与网格变换的层流参数化求解器示意图

三、损失函数

由于PINNs在层流较高雷诺数中遭遇的病态问题，因此我们使用TSONN求解该参数化问题，TSONN方法将原始方程分解为一系列隐式伪时间步进方程，从而将病态优化问题转化为一系列良态子优化问题。

算法1提供了TSONN的一个具体实现。

LBFGS优化器的最大内迭代步K与历史存储规模均设置为500。相对权重和伪时间步长分别是

。这些参数已经在以前的工作中得到验证。模型使用具有10个隐藏层128个神经元的全连接网络表示解函数。本文训练得到的代理模型及测试数据在网址https://github.com/Cao-WenBo/ParametricSolverForAirfoilFlows开源。

三、联合参数空间

本节我们研究包含工程应用中几乎所有翼型层流场景的高维参数化问题，旨在获得具有强泛化能力的代理模型。目标参数空间中雷诺数和攻角范围为

。外形参数空间是随机扰动UIUC翼型数据库中每个外形所产生的空间的并集。具体来说，对于每个配点，我们从UIUC数据库中随机选择一个外形，对其CST参数添加随机扰动，而后使用扰动的CST参数作为输入。这些做法确保了CST的参数空间足够大，可以涵盖实践中可能遇到的几乎所有翼型。注意虽然我们采用了CST参数和y坐标两种形状表征方法，但在使用y坐标表征时并未直接扰动y坐标来生成外形参数空间，而是仍通过扰动CST参数实现，因为直接扰动y坐标会产生高度非光滑的形状。这意味着两种表征方法使用的外形参数空间完全一致，从而确保模型性能对比的公平性。

在模型训练过程中，为避免参数空间边界处采样不足可能导致的误差，我们进一步扩展了状态参数的实际采样空间，如表1所示。模型1和模型2分别采用CST参数和y坐标表征翼型形状。为进一步验证当前代理建模方法可任意扩展模型泛化空间的能力，我们还考虑了更大的参数空间（如模型3所示）。

表1 参数化模型的采样空间设置

四、模型结果

表2列出了用于验证参数化求解器的测试案例。这些案例的雷诺数范围从100到5000，几乎涵盖了翼型层流问题的整个雷诺数范围。攻角变化范围从-5度到15度，覆盖了工程应用中翼型绕流问题所关注的核心攻角区间。图2展示了求解参数化问题与单一流动的收敛历程。我们进行了共计约10,000次外迭代，总计使用(30,000 + 1,000) × 10,000 = 3.1×10⁸个不同的配点。观察发现模型1与模型2呈现出相似的收敛曲线，这表明在相同形状参数空间下，使用y坐标表示翼型形状虽然会导致高达204维的高维参数化问题，但其训练成本与使用CST参数相当。这说明求解器具备自动提取低维特征的能力。此外，采用离散坐标表示外形的方法为未来处理更复杂几何形状提供了潜在可能。当进一步扩大参数空间时，模型3仍能实现稳定收敛，但相较于模型1收敛速度更慢且精度稍微有所降低。

表2 评估参数化求解器的算例配置

为评估求解器的实际效率，我们对比了求解单一流动与参数化问题的计算成本。对于TSONN方法，求解单一流动的平均耗时约为10,000秒，而求解完整参数化问题约需400,000秒，成本比约为40:1，这凸显了该方法在参数化问题上的显著优势。作为对比，我们还在相同网格分辨率下使用FVM方法求解相同单一流动工况。FVM模拟采用四核Intel i9-13900KS CPU进行，以残差下降8个数量级作为收敛标准，平均运行时长约363秒，仅为TSONN训练参数化模型总耗时的1/1102。这种差距源于训练神经网络求解器处理单一流动实例的相对高成本。然而一旦训练完成，参数化模型可对训练参数空间内任意新流动工况进行即时推断，这相当于构建了一个可持续访问的流场数据库，而传统CFD求解器每次都必须从头开始重新计算。

图2 求解参数化问题与单一流动的误差收敛曲线

为进一步证明参数化模型仍保持较低内存需求，我们在表3中报告了训练过程中的峰值GPU内存使用情况。观察到参数化模型的内存使用并未显著超过单一流动求解的消耗，特别是在采用与参数化设置相同隐藏层数和批量大小时，其内存使用仅略高于单一流动求解工况。总体而言，参数化模型是轻量级的，不会造成显著额外内存负担，可轻松适配单块RTX 4090显卡的24GB显存容量。

表3 不同设置下训练过程中的峰值GPU内存使用情况

通过求解参数化问题，我们构建了代理模型，能够对参数空间内任意流动工况实现近实时预测。由于模型1和2的精度大致相当，以下仅展示模型1的预测结果。图3和图4分别展示了模型1对六个测试案例的壁面压力系数与表面摩擦系数分布预测结果。结果表明，该模型与参考解保持高度一致性。表3详细对比了各测试案例的升阻力系数误差：模型达到了令人满意的精度，升力系数平均相对误差为4.4%，阻力系数平均相对误差为1.7%，与单一流动求解精度相当。此外，图5展示了不同工况的流场云图，进一步证明了模型有效预测流场的能力。这些结果表明，即使简单的全连接网络也能实现强大的泛化能力。