ENG APPL COMP FLUID | 西北工业大学赵书乐、张伟伟：欧拉方程嵌入的壁面压力和摩阻分布机器学习方法

在气动力分布建模中，我们经常构建点对点模型。此类模型对网格不敏感，适用于变几何外形问题，规避了插值等对齐操作。然而这也意味着模型仅能依赖局部信息，可能引发“非对一”问题。精心设计的输入应当有效表征流动状态与位置信息，同时建立与几何形态的明晰关联，从而提升模型辨识输入输出相关性的能力。受欧拉方程与边界层迭代方法的启发，我们认识到控制方程的数值解本质上是通过几何外形与来流条件的迭代耦合生成的，其解空间内在地体现了流动物理与几何形态的相互作用机制。作为纳维-斯托克斯方程低阶形式的欧拉方程忽略了粘性效应，且无需湍流模型即可求解。其对网格密度要求相对宽松，在不同求解器间结果方差较小，计算成本也更低。在端到端建模框架内，基于欧拉解获得的流动信息能可靠识别流动的位置与状态，这有助于机器学习方法感知几何变化对目标量的影响，从而从物理层面增强模型的泛化能力。因此，欧拉派生特征构成了后续网络阶段的理想输入。

在无粘特征选择方面，我们利用欧拉求解获得的压力分布、速度场与流线坐标作为输入。在传统无粘/粘性迭代方法中，欧拉解常被用于近似边界层外缘的流动特性：速度场为边界层厚度计算提供依据，促进与边界层积分方程的耦合——这与建模相关，因为外缘速度决定了粘性影响下边界层的发展，进而影响摩擦阻力分布。此外，无粘压力分布提供了与几何特征直接关联的关键流动信息，对激波位置等复杂流动现象具有描述能力，同时作为与高精度粘性压力分布相关联的低保真对应量。流线坐标则表征了沿流动路径相对于驻点的位置，可辅助模型识别观测点在流动发展过程中的方位。这三个特征的选择综合了集成学习手段与物理机理的考量，既确保物理相关性又兼顾建模效能。详细特征选择方法可参考力学学报论文[1]。三类流动特征的协同作用使模型能有效感知空间位置与气动特性的关联，同时提供基础的低保真输入。

三、结果与结论

1.算例1：NACA0012 亚音速算例

2.算例2:跨音速RAE2822算例

跨音速状态下，存在强非线性的激波，壁面的气动力信息求解是困难的。RAE2822是跨音速翼型中常用的研究对象，可以较好地研究跨音速状态下翼型表面的激波变化，因此许多跨音速翼型气动力建模、气动外形优化都采用此作为研究对象。所以本小节我们以RAE2822为研究对象，同样采用拉丁超立方方法进行抽样。训练集的工况抽样结果如下图5：

图5 采样结果图

训练集的采样空间是Ma=0.3~0.8，Re=3e6~8e6，AOA=-2~5。预测集1的采样范围集中在Ma=0.3~0.7，Re=3e6~7e6，AOA=-2~3，这部分是亚音速到跨音速的过度阶段，可能激波强度较弱或不存在激波，用以衡量模型对于高亚音速部分的适用性。预测集2的采样范围集中在Ma=0.7~0.8，Re=7e6~8e6，AOA=3~5，这部分是典型的跨音速区域，已经出现了较强的激波，反映在压力分布和摩阻分布上都有明显的转折，求解预测的难度较大，用以衡量模型对于激波强度、激波位置的捕捉程度。模型的预测结果如下图6结果所示。

图6 预测结果图

上述两种预测集的分布力经过积分处理后，对其阻力误差进行了统计分析，结果如图12所示。可以看出，基于压力分布积分得到的阻力误差约为2%，基于摩擦阻力积分得到的阻力误差约为1%。同时考虑模型预测离散性的影响，两组数据的最大误差也均能控制在2%以内。该预测精度能够满足工程实践需求，且验证了模型在强非线性跨音速区域的适用性，且具有较低的分散度。

图7 阻力误差的统计结果

3.算例3:S809分离流动算例

流动分离是工程中关注的特殊状态，在这种状态内，升力大幅减小，对于飞行器的安全性具有重要影响。在本文的计算中采用的高精度模型是SA模型，这种方法对于失速部分的求解与实验值存在偏差。利用数据驱动的建模方式构建的模型精度上限为数据本身的精度，因此采用SA模型仅仅是用于方法验证，工程实际应用中可以使用更高精度的数据进行。

为尽可能复现实验中的数据采集状态，本节仅对马赫数与雷诺数进行采样，采用均匀采样方法进行抽取。选取较低马赫数范围0.1至0.3，雷诺数范围2e6至4e6。攻角采样范围为0至16度，采样间隔为2度，共8个采样点。即每个马赫数与雷诺数组合下，攻角逐级递增。在此过程中，流动状态由附体流动逐渐转变为开始出现分离涡。不同于低攻角状态，分离涡会影响气动载荷，气动力随攻角开始呈现非线性特性，建模难度也大幅提升。本节数据集具体采样条件如下表2所示，旨在研究本文提出的方法能否识别不同速度与粘性条件下的流动状态，并准确完成气动力的预测。图8是对于流动的预测结果，图9是根据升阻力进行积分的结果。

图8 流动的预测结果

图9 积分后的升阻力预测结果

4.算例4: 跨音速机翼变外形算例

本节旨在探究模型在高维算例中的适用性，面向工程中机翼设计的实际场景。由于工程设计中常需调整外形与来流条件，因此模型需在形状和状态上均具备泛化能力。延续先前研究思路，我们选用NACA0012翼型构建展长1.5米、根弦长1米、根梢比2、后掠角30°的机翼，具体构型如图15所示。对于三维机翼，CST方法可通过在不同剖面施加参数化实现。本文采用36维CST参数化对机翼外形进行建模，继而运用拉丁超立方采样方法对参数施加15%的随机扰动以生成新构型。本节的工况采样也使用了LHS方法，并在亚跨音速进行采样，采样结果如图11所示。

图10 采用的基准机翼外形图

图11 本算例的工况采样结果

机翼表面气动分布预测结果如图12所示，与弦向位置y/c=0.75处的计算结果进行对比可见：无粘特征有效支撑了模型对压力分布的预测，能够准确预测激波位置，在外形与来流条件方面均展现出可观的泛化能力。摩擦阻力预测结果整体良好，仅在阻力峰值处存在轻微偏差，这主要源于无粘流动特征与摩擦阻力之间的关联性较弱。在小样本建模的情况下，达到当前精度是具有挑战性的。从云图可以看出，模型预测误差主要集中于翼尖区域，这是由于三维流动效应的存在，使得该区域气动分布呈现非线性特征且变化更为剧烈。

图12 机翼表面气动力预测结果与y/c=0.75截面处结果

我们还对三个数据集的预测误差进行了统计分析，计算了决定系数R²，并绘制了如图13所示的箱型图。三个数据集预测结果的R²均在0.99以上。总体而言，在小样本建模场景下，该模型针对跨音速变几何三维机翼预测问题的精度已相当理想，能够有效解决工程实践中的气动力数据获取问题。

图13 R²统计箱线图

结论

本文设计了一种物理知识引导的机器学习架构，能够实现无粘流特征向壁面气动分布的映射，从而通过低成本求解欧拉方程来获取粘流状态下的气动力。通过对包含不同外形、不同流动状态的多个算例进行研究，对该架构的普适性与适用性进行了深入分析与探讨。无粘流动特征的引入，使得模型能够保证预测精度的同时，大幅减小了对于样本量的需求，并且有效支撑了模型的泛化能力。