【导读】
48小时，50年数学谜题被成功破解！AI与全球数学家协同攻关，从硬币游戏建模到正方形填充等价转化，层层突破埃尔德什#1026问题，标志着人机协作正重塑数学研究新范式。
Erdős #1026问题的破题历程
1975年，保罗·埃尔德什在论文边角随手提出一个问题，编号#1026，此后半世纪悬而未决。2025年12月，由陶哲轩发起、多位数学家与AI系统协作，在48小时内完成形式化证明与完整公式推导。
问题本质：硬币游戏与单调子序列
给定互异实数序列 x1, …, xn，定义 S(x1, …, xn) 为所有单调（递增或递减）子序列元素和的最大值。核心追问：该函数的渐近行为如何？即比值 c(n) = inf S / Σxi 的下确界？
Desmond Weisenberg将其转化为Alice-Bob硬币游戏：Alice将N枚硬币分为n堆（每堆xi枚），Bob选取单调子序列取走对应堆全部硬币。问题转化为——无论Alice如何分配，Bob至少能获得总硬币数的多少比例？此比例记作c(n)。
从平方数猜想至精确公式
Stijn Cambie发现：当n = k2时，通过构造k个递减块（每块k堆，块间递增），最长单调子序列长度仅为k，故c(k2) ≤ 1/k；Wouter van Doorn则给出下界c(n) ≥ (1/√2)/√n。二者夹逼指向极限：√n·c(n) → 1。
Boris Alexeev于2025年12月7日使用Harmonic公司AI系统Aristotle，在Lean中自动验证c(k2) = 1/k；Koishi Chan同步给出人类可读的「膨胀法」证明，实现上下界统一。
AI驱动的全公式发现
陶哲轩调用AlphaEvolve系统生成极小化S的序列，计算得n=1至16的c(n)数值，并观察出规律。Boris据此提炼出通解公式：
c(n) = max{ k/(k² + a) ∣ k ∈ ℕ⁺, a ∈ [0, k), k² + 2a + 1 ≥ n }。
该公式对应一种红蓝双值块交替构造法，可严格控制单调子序列长度；其倒数1/c(n)图像呈现对√n的分段线性逼近特征。
连接经典：正方形填充等价性
Lawrence Wu指出，该问题等价于埃尔德什问题#106（正方形填充）：对任意序列，可构造互不重叠的正方形，恰好填满边长为S的大正方形，从而导出c(n) ≥ 1/f(n)。
借助Baek-Koizumi-Ueoro 2024年关于f(k²+2c+1)的上界结果，及Praton嵌入论证，最终完成c(n)上下界的完全吻合，实现严格证明。
AI+人类：48小时极限协作范式
此次突破依赖跨地域、跨工具、跨知识背景的实时协同：数值计算、模式识别、形式化验证、文献溯源、经典定理重构等环节，在48小时内闭环整合。相较传统模式需数周乃至数月，效率跃升显著。
关键支撑在于埃尔德什问题网站的开放AI政策：要求使用者公开声明AI参与、自主核查全部推导与数据、评论篇幅合理——确保透明性与学术严谨性并存。
一道悬置50年的数学谜题，在2025年冬日迎来终章。这不仅是单个问题的解决，更预示着AI深度融入数学发现流程的新纪元已然开启。
