种猪生产大数据分析方法之一般线性模型（续）

模型中只有固定效应成分的方差分析模型称为固定效应方差分析模型。在母猪生产中，假设某集团下属管辖10个猪场，研究人员试图研究10个猪场应用某种营养技术方案对弱仔数的影响，分别从这10个猪场中随机选取200头母猪作为试验动物，由于10个猪场的母猪均被使用，所以猪场是一个固定因素，这时应该采用固定效应模型进行分析。它包括单因素方差分析（One-Way ANOVA）和多因素方差分析（Multi-Way ANOVA）。以两因素析因设计为例，设定解释变量A和B均为固定效应，分别有a和b个水平，则共有a × b种组合方式，每种组合下分别重复k次试验（k ≥ 2），Y代表定量数据的响应变量，则该试验设计下的固定效应方差分析模型可表述为：

Y_ijk = μ + α_i + β_j+（αβ）_ij + ε_ijk

i = 1, 2, …a; j = 1, 2, 3, …b; k = 1, 2, 3, …n

其中，μ代表总体平均值，α_i代表解释变量A第i个水平的效应（即α_i = μA_i - μ），β_j代表解释变量B第j个水平的效应（即β_j = μB_j - μ），（αβ）_ij代表A与B分别在第i水平与第j水平组合条件下的交互作用，ε_ijk代表随机误差分量。进行方差分析时，需要分别计算解释变量A、B以及交互作用A × B的期望均方，根据均方构造出假设检验“H0: α_i = 0, H0: β_j = 0, H0:（αβ）_ij=0”的三个F统计量，计算公式如下：

F_A = MS_A / MS_E; F_B = MS_B / MS_E; F_AB = MS_AB / MS_E

F_A符合F_{a-1, ab（n-1）}分布，F_B符合F_{b-1, ab（n-1）}分布，F_AB符合F_{（a-1）（b-1）, ab（n-1）}分布。固定效应方差分析模型需要进行两两比较以确定解释变量间对结局变量影响的显著性。固定效应方差分析模型选用条件应包括以下3点：1）ε_i符合正态分布（满足正态性）；2）ε_i（I = 1, 2, 3, …i）间相互独立（满足相互独立性）；3）E（ε_i） = 0，方差为一常数（满足方差齐性）。

实际生产中，有时无法或没有必要确定所有的因素水平，所确定的因素或水平只是众多因素或水平中随机抽取的，相当于在总体中抽取样本，这样所产生的效应称为随机效应，具有随机效应的模型称为随机效应方差分析模型。在母猪生产中，研究人员试图研究某种营养技术方案对长大二元杂母猪弱仔数的影响，从华南地区5个公司的下属猪场分别随机挑选200头长大二元杂母猪作为试验动物，由于这5个公司是全国多个公司中随机挑选的，长大二元杂母猪弱仔数不仅受到营养技术方案的影响，也在一定程度上受其所在的地区有关，这时应该采用随机效应模型。模型公式可表述如下：

Y_ijk = μ + α_i + β_j+（αβ）_ij + ε_ijk

i = 1, 2, …a; j = 1, 2, 3, …b; k = 1, 2, 3, …n

其中，μ是总平均效应，α_i，β_j，（αβ）_ij以及ε_ijk都是随机变量。特别地，假定α_i服从NID（0，α_i²），β_j服从NID（0，σβ²）、（αβ ）_ij服从NID（0，σαβ²）、ε_ijk服从NID（0，σ²）。由此推断出任一观测值的方差为：

V（Y_ijk） = σα² + σβ² + σαβ² + σ²

上式中σα², σβ², σαβ², 和σ²四项叫做方差向量，因此随机效应方差分析模型也被称为方差向量模型。对于方差向量模型，构造F统计量的方法与固定效应方差分析模型相似，根据三个期望均方的表达式，构造出假设检验“H0: σα² = 0, H0: σβ² = 0, H0: σαβ²=0”的三个F统计量。计算公式如下：

F_A = MS_A / MS_AB; F_B = MS_B / MS_AB; F_AB = MS_AB / M_SE

F_A符合F_{a-1,（a-1）（b-1）}分布，F_B符合F_{b-1,（a-1）（b-1）}分布，F_AB符合F_{（a-1）（b-1）, ab（n-1）}分布。对于随机效应方差分析模型，我们只要检验随机效应的方差是否为0即可，而不用检验各处理效应。当交互作用不存在时，它与固定效应方差分析模型分析的结果是一样的。随机效应方差分析模型选用条件应包括以下2点：1）ε_i符合正态分布（满足正态性）；2）ε_i（I = 1, 2, 3, …i）间相互独立（满足相互独立性）。

既包含固定效应也包含随机效应的方差分析模型称为混合效应方差分析模型，进行的检验也是固定效应和随机效应相结合。模型公式可表述如下：

Y_ijk = μ + α_i + β_j+（αβ）_ij + ε_ijk

i = 1, 2, …a; j = 1, 2, 3, …b; k = 1, 2, 3, …n

其中，α_i代表固定效应，β_j代表随机效应，并且假定（αβ）_ij也代表随机效应，而ε_ijk代表随机误差。假定E（α）= 0，β_j服从NID（0，σβ²）、（αβ ）_ij服从NID（0，σ²αβ）、e_ijk服从NID（0，σ²）。关于随机效应方差分析模型构造F统计量的方法与固定效应与随机效应方差分析模型类似，根据固定效应和随机效应及固定 ×随机效应的均方计算三个F统计量。对于固定效应的假设检验为“H0: α_i = 0，对于随机效应的假设检验 H0: σβ² = 0, H0: σαβ² = 0”。F统计量计算公式如下：

F_A = MS_A / MS_AB; F_B = MS_B / MS_E; F_AB = MS_AB / MS_E

F_A符合F_{a-1, （a-1）（b-1）}分布，F_B符合F_{b-1, ab（n-1）}分布，F_AB符合F_{（a-1）（b-1）, ab（n-1）}分布。混合效应方差分析模型选用条件应包括以下2点：1）ε_i符合正态分布（满足正态性）；2）混合线性模型保留了一般线性模型的正态性前提条件，放弃了独立性和方差齐性的条件。