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群论是数学中研究群的一门分支。
群是一种代数结构，它由一个集合和在该集合上定义的一个二元运算组成，满足四个性质，分别是封闭性、结合性、存在单位元和存在逆元。
具体来说，一个群G是一个集合，配备了一个二元运算（通常表示为乘法），满足以下性质：
封闭性：对于任意属于G的元素a和b，它们的乘积ab也属于G。
结合性：对于任意属于G的元素a、b和c，满足(ab)c = a(bc)。
存在单位元：存在一个元素e，对于任意属于G的元素a，有ea = ae = a。
存在逆元：对于任意属于G的元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e，其中e是单位元。
群论的研究涵盖了许多数学领域，包括抽象代数、数论、几何学等。群论在解决代数方程、几何问题以及物理学中的对称性问题等方面有广泛的应用。
[1] 内森·卡特，“群论彩图版”，机械工业出版社，2019.
首先，我们来了解一下什么是集合。集合可以理解为一组对象的集合。比如，你可以有一个水果的集合，里面有苹果、橙子、香蕉等各种水果。
集合有一些基本的性质，例如：
互异性（不同性）：集合中的每个对象都是独特的，不会有相同的。
无序性：集合中的对象没有顺序，即你不能说某个对象在集合中的位置。
确定性：一个对象要么属于集合，要么不属于，没有模棱两可的情况。
我们还可以用图形来表示集合，用一个圆圈表示集合，里面的元素用点表示。比如，集合A={苹果，橙子，香蕉}可以用一个圆圈表示，里面有三个点分别表示苹果、橙子和香蕉。
集合论还包括一些基本的运算，比如并集、交集等。这些运算可以帮助我们处理集合之间的关系。
总的来说，朴素集合论是研究集合及其基本性质的数学理论，它为我们理解和处理各种数学问题提供了基础。
[1] Paul R. Halmos，“朴素集合论”，世界图书出版公司，2008.
映射可以简单地将其想象成一种关系，其中一个集合的元素与另一个集合的元素之间有特定的对应关系。这对应关系可以用箭头表示。
让我们来看一个简单的例子：假设有两个集合，集合A包含{1, 2, 3}，集合B包含{apple, orange, banana}。现在，我们建立一个映射，将集合A的元素映射到集合B的元素，规定如下：
1 映射到 apple
2 映射到 orange
3 映射到 banana
你可以想象这个映射关系为从集合A的每个元素画一条箭头指向集合B的相应元素。这就是一个映射。
在数学中，我们通常用函数的概念来描述映射。一个函数是一种特殊类型的映射，其中每个输入元素（域中的元素）都有唯一的输出元素（值域中的元素）。
总体而言，映射是一种将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的方式，它在数学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
[1] 阿德里安·班纳，“普林斯顿数学读本”，人民邮电出版社，2020.
