孪生素数2016年11月份的ESI（Essential Science Indicators）更新的数据显示，数学领域一共有332组前沿研究（Research Fronts），包括非线性自回归滑动平均模型、耦合不动点定理等热点研究，其中“孪生素数猜想”的证明这一困扰数学家一百多年的纯粹数学谜题有了突破性进展，并成为最新的ESI前沿研究之一。
众所周知，素数或质数是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。公元前300多年，古希腊数学家欧几里得在其经典著作《几何原本》中用反证法证明了素数有无穷多个。围绕素数存在很多的数学问题，较为著名的有梅森素数、费马素数、孪生素数等，它们吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研。以标题词“Primes”在SCIE数据库中检索素数，并对 数学和应用数学学科进行限定，论文量就达到1400多篇，最早的论文可以追溯到1900年左右，通过文本聚类的方法，可以看出这些关于素数的论文研究主要集中在以下20个主题词：
图1：利用Thomson Data Analyzer聚类而成
在无穷的素数中，差为2的素数对（p和p+2同为素数）又称为孪生素数，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。随着数字变大，人们可以观察到的孪生素数越来越少。那么，会不会有一天再也找不到新的孪生素数呢？这就是几百年前的“孪生素数猜想”：对所有自然数k存在无穷多个素数对（p, p + 2k）（k=1即为孪生素数）。这个猜想和负有盛名的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一道成为著名的德国数学家大卫•希尔伯特第八问题中的一部分。如何证明这一猜想，是困扰数学界的一大难题。通过SCIE数据库的引文索引功能，对这1400多篇素数研究论文的参考文献和施引文献进行梳理，我们可以清晰的看到这一百多年以来关于“孪生素数猜想”论证的重要研究成果：
图2：孪生素数猜想研究进展图，数据来源：SCIE数据库
目前，多种试图证明孪生素数猜想的方法都不甚奏效。虽然，一个重要里程碑是美国数学家丹•戈德斯通及两位同事于2005年提出，存在无穷多个之差小于16的素数对。但是，这种弱孪生素数猜想尚不知如何证明。正如美国数论学家多里安•戈德菲尔特所言，“他们假定了一个没有人知道如何证明的猜想。”
图3：部分孪生素数，图片来源：Google
华裔科学家张益唐取得重大突破
2013年5月，张益唐在纯粹数学领域知名刊物ANNALS OF MATHEMATICS（2015年影响因子3.116）上发表Bounded Gaps Between Primes《素数间的有界距离》，证明了存在无穷多个素数对（p, q），其中每一对素数之差，即p和q的距离，不超过7000万。以下几个因素足以解释这篇论文研究的轰动效应：该论文是张益唐独自一人完成的成果；张益唐所在的学校美国新罕布什尔大学并不以数学研究而闻名，张本人当时也仅仅是该校的一名讲师；ANNALS OF MATHEMATICS具有严苛的审稿和漫长的接收流程，一般来说只有顶尖的数学论文才能被录用，2013年该刊收到950篇投稿，但仅仅发表了其中的49篇，张的论文一个月就过审，且被评审者大大赞扬；第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对，并且不依赖于任何一个其他猜想。
引用互联网的一个关于孪生素数的形象比喻：
假如在质数的王国里质数只能找邻近的质数结婚，那3、5这种质数找对象都很容易。但是假如在质数的王国里质数只能找邻近的质数结婚，那3、5这种质数找对象都很容易。但是质数越大，对象就越难找。根据张益唐的发现，质数和下一个质数的距离，应该小于或等于7000万。孤独的数字不会持续孤独下去，总有另外一个质数与之匹配。换言之，对于大龄光棍质数来说，7000万步之内，必有芳草。
图4：华人数学家张益唐 Peter Bohler 图，图片来源：Google
张益唐的论文Bounded Gaps Between Primes截止到目前在SCI里被引40次，二代引用为76次，并且成为ESI数学学科的高被引论文，下图是基于该论文被引而生成的引证关系图：
图5：Web of Science引证关系图
孪生素数猜想的后续研究
尽管从2到7000万是一段很大的距离，英国《自然》杂志在线报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如丹·戈德斯通所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。” 张益唐的成果公布一周之后，全球的数学家开始争相寻找最小的数字。两个星期后的5月28日，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31日，下降到了4200万。又过了三天的6月2日，则是1300万。次日，500万。6月5日，40万，连原来的百分之一都不到。6月14日，剩下的只有区区的25万......
从上面关于Bounded Gaps Between Primes的引证关系图可以看出，基于张益唐的论文，后续比较有代表性的研究来自于剑桥大学的天才数学家，年仅29岁的梅纳德·詹姆斯，他于2015年同样在ANNALS OF MATHEMATICS上发表了一篇论文Small Gaps Between Primes，该论文证明了这个常数不大于600！这篇论文同样是ESI高被引论文，并且和张益唐的论文一起构成了ESI中孪生素数猜想的前沿研究的核心文献。梅纳德·詹姆斯所在的研究小组Polymath8（由加州大学洛杉矶分校著名的华裔教授陶哲轩发起）已经证明了该常数为6！看来，孪生素数猜想的证明指日可待。
参考文献
科学人《孪生素数猜想，张益唐究竟做了一个什么研究？》
光明日报《孪生素数猜想》
澎湃新闻《纽约客专访华人数学家张益唐，这个牛人取得了什么成就？》
作者：
阳小涛
大学市场客户经理
Clarivate Analytics
(原汤森路透知识产权与科技事业部)