金属体的势积分方程

考虑一个由已知激发电场照射的理想金属体[完美电导体（PEC）]，该电场也可以表示为激发电势，经典关系式为

  Eexc=−∇Vexc .

由于这种激发，物体表面出现了未知的表面电荷密度ρs。这种电荷反过来产生“感应”电场/电势（在电动力学中，形容词“感应”被“散射”所取代）。由基本静电理论可知，观测点r处的感应电势可以表示为

这个问题的物理学要求感应电势“补偿”激发电势，产生总电势U，不一定是已知的，但在身体表面是恒定的。这个条件允许我们为未知的表面电荷密度ρs建立一个势积分方程（PIE），可以用简洁的符号表示为

然后，物体表面的总电荷由下式给出

一般来说，要么物体具有已知的电势U（连接到电池或接地），要么它具有已知的总电荷Q（孤立物体）。在第一种情况下，总电荷是未知的，但可以使用总电荷公式进行后验计算。在第二种情况下，上式提供了一个补充方程，使我们能够处理额外的未知U。显然，在没有外部激励的情况下（Vexc=0），只有当U或Q具有非零值时，上面两个方程才能得到ρs的非零解。

金属体在静电平衡状态下，其内部电场强度为零，且整个金属体是一个等势体。这意味着金属体表面的电荷分布会调整，使得金属体内部任意两点的电势差为零。

格林函数和边界元法等方法在电磁学、声学、热传导等多个领域都有广泛应用。对于金属体（导体）的静电问题，通常还会结合高斯定理、静电平衡条件等物理定律来求解。