平面介电半空间上的辐射问题一直是电磁场的经典研究课题之一。它涉及电磁波在介质边界处的反射、折射以及辐射场的计算。
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平面介电半空间上的辐射问题 -
Sommerfeld 问题 -
参考资料
As shown below👇
*平面介电半空间上的辐射问题
考虑一个无限大的平面介电半空间，其边界位于 z=0：
区域 z>0：介电常数为 ϵ、磁导率为 μ 的介质。
区域 z<0：自由空间（ϵ0 ,μ0）。
源可能位于自由空间或介质中，需计算辐射场（如偶极子辐射、平面波入射等）。
涉及的物理问题
反射与折射：电磁波在边界处遵循斯涅尔定律和菲涅尔公式。
表面波：某些条件下可能激发表面波（如Zenneck波）。
辐射场修正：介质的存在会改变自由空间中源的辐射特性（如偶极子辐射功率）。
源位置：偶极子位于自由空间（z<0）或介质（z>0）。
解法步骤：
自由空间格林函数：修正为包含边界效应的并矢格林函数。
镜像法：介电半空间引入镜像源，修正辐射场（如 z<0 的偶极子会产生一个镜像偶极子）。
远场近似：计算辐射功率和方向性, 介质的折射率
当介电常数 ϵ 为负（如等离子体或金属在特定频率下），可能激发表面等离激元.
数学工具
并矢格林函数：求解麦克斯韦方程，满足边界条件：
波谱展开：将场分解为平面波谱，适用于任意源分布。
Sommerfeld积分：处理半空间问题中的柱对称源（如垂直偶极子）。
*Sommerfeld 问题
主要解的形式
(A) 垂直电偶极子（VED）的场
直接场：
反射场（含 Fresnel 反射系数 R TM ）：
(B) 水平电偶极子（HED）的场
由于 TE/TM 模式耦合，计算更复杂，但仍可用 Sommerfeld 积分表示。
一些结论
表面波的存在：
当大地导电（σ≠0），会激励 Zenneck 波，沿地面传播。
在远距离（如长波通信），表面波主导传播。
损耗影响：
高导电率（如海水）导致强衰减，表面波传播距离短。
低导电率（如干燥土壤）允许表面波传播更远。
频率依赖性：
低频（如 kHz 级）表面波传播更有效（如 AM 广播）。
高频（如 MHz 以上）以空间波为主。
[1] F. Mesa and D. R. Jackson, "An Appraisal of Numerical Approaches for a VED Over the Earth or Ocean," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 70, no. 8, pp. 6957-6972, Aug. 2022, doi: 10.1109/TAP.2022.3161476.
[2] I. -S. Koh, "A Complete Uniform Asymptotic Expansion of Dyadic Green’s Function for Dielectric Half-Space Including Plasmonic Media," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 73, no. 5, pp. 3382-3387, May 2025, doi: 10.1109/TAP.2025.3533258.
