微带线是一种非均匀介质传输线。它的电磁场同时分布在两种介质中：衬底介质和空气。众所周知，微带线的特性阻抗 Z₀ 与等效介电常数 ε_eff 的平方根成反比。虽然等效介电常数与衬底介质的介电常数有关系，然而由于非均匀性，不能简单地使用 ε_r 来计算。为此，引入了等效介电常数 ε_eff 的概念。
-
等效介电常数 ε_eff 的计算公式与物理意义 -
等效介电常数 ε_eff 公式的由来 -
参考资料
As shown below👇
*等效介电常数 ε_eff 的计算公式与物理意义
1、计算等效介电常数的公式：
ε_eff = [ε_r + 1]/2 + [ε_r - 1]/2 * F(W/H)
其中函数 F(W/H) 为：
F(W/H) = (1 + 12H/W)^(-1/2) + 0.04 * (1 - W/H)² （当 W/H ≤ 1，即窄线）
F(W/H) = (1 + 12H/W)^(-1/2) （当 W/H ≥ 1，即宽线）
2、物理意义：
假设，用一种均匀的、虚拟的介质完全替换微带线周围的空气和衬底，使得这个“虚拟微带线”与原始微带线具有相同的相位常数（即相同的传播速度）和特性阻抗。这个虚拟介质的介电常数就是 ε_eff。
[ε_r + 1]/2：这是 ε_eff 的下限和上限的平均值。当线非常窄 (W/H -> 0) 时，大部分场在空气中，ε_eff -> (ε_r + 1)/2。当线非常宽 (W/H -> ∞) 时，场几乎全部集中在介质中，ε_eff -> ε_r。
[ε_r - 1]/2 * F(W/H)：这是一个加权因子。函数 F(W/H) 描述了场从“全部在空气中”到“全部在介质中”的过渡。它从0（W/H -> 0）变化到1（W/H -> ∞）。
这个公式清晰地表明，ε_eff 是 ε_r 和微带线几何形状 W/H 的函数。
*等效介电常数 ε_eff 公式的由来
通过严谨的数学物理方法推导出来的。最主要的方法是 保角变换法。
推导流程：
建立物理模型 -> 应用保角变换 -> 求解空气和全介质填充的电容 -> 引入填充因子模型 -> 拟合出 ε_eff 和 Z₀ 的封闭表达式。
保角变换法的核心思想：
问题建模：将微带线的横截面（一个复杂的边界条件：导体、介质、空气）映射到复平面（Z-plane）上。
寻找变换：寻找一个解析函数 w = f(z)，将这个复杂的Z平面区域变换到一个结构更简单、更容易求解的W平面区域。例如，变换成一个平行板电容器的区域。保角变换的特性是保持局部角度不变，从而使得 Laplace 方程的解（即静电场电位分布）在变换后仍然成立。
求解电容：
在变换后的简单区域（如平行板电容器）中，计算电容非常容易。C = ε * A / d。
通过保角变换，我们可以计算出两种情况下微带线的单位长度电容：
C_0：当整个空间（包括衬底）都充满空气 (ε_r = 1) 时的电容。
C_1：当整个空间都充满衬底介质 (ε_r) 时的电容。
得出 ε_eff 和 Z₀：
对于实际的非均匀微带线，其总电容 C 可以看作是两部分电容的加权组合。在准静态近似下，一个非常成功的模型是：
C = C_1 + (C_0 - C_1) * q
或者等价地：
C = C_0 * (1 - q) + C_1 * q
其中 q 是一个填充因子，表示有多少比例的电场分布在介质中 (0 < q < 1)。
由于均匀介质填充的传输线电容 C_hom = ε_eff * C_0，所以我们有：
ε_eff * C_0 = C_1 + (C_0 - C_1) * q
整理后得到：
ε_eff = 1 + q * (ε_r - 1)
这个形式就非常类似于我们前面给出的 [ε_r + 1]/2 + [ε_r - 1]/2 * F(W/H)。实际上，通过保角变换可以精确求出 C_0 和 C_1，从而得到 q 或 F(W/H) 关于 W/H 的解析表达式。Hammerstad 和 Jensen 的公式就是通过对保角变换结果的曲线进行高度精确的数值拟合得到的。
计算特性阻抗：
特性阻抗 Z₀ = sqrt(L C) / C，其中 L 是单位长度电感。
在空气填充的情况下，Z₀0 = sqrt(L C_0) / C_0。
对于实际微带线，由于磁场几乎不受介质影响（非磁性材料），电感 L 保持不变。因此：
Z₀ = Z₀0 / sqrt(ε_eff)
[1] 李明洋, HFSS电磁仿真设计应用详解. 2010.
[2] 鲍尔 I., 微带天线. 1984
