如何对光学元件自由曲面进行公差分析？

超精密金刚石车削是制造自由曲面光学元件的一种主要方法。这项工艺需要有相应的表面误差分析对其加工质量进行评估。对于传统光学元件来说，不同空间频率范围中表面误差的分析主要通过一维功率谱密度函数（1D-PSD）进行。

然而，由于参数的复杂性，自由曲面光学元件的面型通常会体现出高度的各向异性，而在表面的不同方向上，车削形成的波纹又体现出一定的规则性。为了在频率范围内正确分析整个表面，有学者提出了一种表示二维功率谱密度（2D-PSD）的新方法。

如果将光学元件波面高度函数展开成傅里叶级数，可对光学元件波面质量分为三个频段来评价：（1）周期<0.12 mm的高频段，即表面粗糙度或光洁度；（2）周期在0.12~33 mm之间的中频段，即表面波纹度；（3）周期>33 mm的低频段，即空间域表面面形。

金刚石车削生产自由曲面镜时，由于切割过程中的振动和温度变化，镜面上会出现周期从几十微米到几毫米的规则表面误差。经典的旋转对称方法加工镜面会导致同心结构的波纹。而离轴非球面的制造往往涉及切割的中断、工件边缘处的振荡或者运动和姿态都更加复杂的快速刀具伺服（FTS）和慢速刀具伺服（STS）等情况，这些通常会形成更复杂的不规则形状，由此而导致光散射效应。

在散射效应中，光的方向和散射角分别由表面误差的方向和周期决定。中频波段的波面误差使光在较小的角度内散射，降低系统的分辨率；高频波段的波面误差使光在较大的角度散射，降低像的对比。故可以用于PSD描述中高空间频率（HSF）误差。

总的来说，PSD从频率分析的角度描述了光学元件透射（反射）波面，提供了丰富的波面信息，可以定量地给出光学元件波前误差的空间频率分布，确定了各个频率分量的影响，对光学元件分析及指导光学元件加工均具有十分重要的意义。

一维表示的一个优点是可以从不同的扫描区域拼接PSD，形成在频率空间中覆盖几个数量级的主PSD（Master PSD），根据主PSD曲线能分析该方向下的主要面形误差。然而，1D-PSD并不能完全表示出表面误差的方向分布。

对于直角坐标系下的2D-PSD而言，表面周期性误差的频率和方向都可以从中直接体现，但问题是属于不同空间频率范围的2D-PSD无法被拼接，因为直角坐标2D-PSD包含负频率，其中负号表示方向，因此不能按照对数标度把所有PSD表示在同一张图上。角分辨的PSD是一种在极坐标下表示的PSD。直角坐标系中的2D-PSD是各频率分量傅里叶频谱振幅的平方，如果将直角坐标系转换成极坐标系，则可以绘制出以方位角j为横轴、以空间频率f为纵轴的极坐标系功率谱密度。

而极坐标下的PSD同时有以上两种优点：一方面，它保留了角度信息（类似于2D-PSD）；另一方面，因为它本身是一种一维形式的表述，所以能将不同空间频率范围的PSD拼接在单个图中（类似于1D-PSD） 。

光学表面的面形误差检测通常用全孔径干涉测量法进行，但是要测量更高频率的误差，还必须对子孔径的功率谱密度进行测量，例如使用白光干涉仪（WLI）。通常在表面上选取一系列能够表示完整表面的代表性位置来测量。

两个自由曲面元件被放置在同一模块上轴向旋转，旋转中心位于两个表面之间。由于振动和热波动，表面上会有规则的同心弧形成，且越靠近旋转中心，弧的曲率越大，用不同幅度和频率的正弦函数的叠加形成直径D = 48 mm的合成表面来表征这些同心弧。这个过程模拟了金刚石车削制造自由曲面镜时产生的中空间频率（Mid Spatial Frequency，MSF）振荡。

该轮廓如图1（a）所示。图1（b）中的2D-PSD描绘了表面边缘处的PSD。每对频率坐标（fx，fy）为PSD中的弧提供贡献。图1（c）是图1（b）的极坐标表示，其中连续线段所表示的角度范围等于2D-PSD中的频率位置的弧的圆心角。

图2 子孔径的分析

图2（a）是边长为3.75 mm的方形子孔径的轮廓图。曲率值与子孔径到旋转中心的距离相关。图2（b）表示属于十个不同位置的子孔径在直角坐标系下的平均2D-PSD。不同长度的弧互补地描述了功率谱。图2（c）是这十个位置在极坐标系下的平均PSD。可以想象，如果子孔径数量足够多，并且在整个表面上合理分布，则子孔径PSD的角度与全孔径PSD中有相同的水平宽度。

图3

一个二次曲面的自由曲面镜的全孔径干涉图像如图3（a）所示。图3（b）为实际加工时旋转中心和工作坐标系的布局图。元件表面所存在的周期性误差基本可以分为两类：沿刀具运动方向的误差，在图中体现为以旋转轴为圆心的同心圆（Concentric Errors），以及垂直于刀具运动方向的误差，在途中呈垂直于前述同心圆的放射状排布（Radial Errors）。

图4

图4（a）示出了在金刚石车削（Diamond Turning, DT）之后一个子孔径的干涉测量图。旋转中心位于右上角。在这个子孔径上存在周期分别为190μm和750μm的两个振荡的叠加。这两个振荡的方向垂直于车削工具的运动方向，这意味着它们属于径向表面误差。对相同位置进行计算机控制抛光（Computer Controlled Polishing, CCP）后，图（a）中的两个震荡得到了抑制，此时的干涉图体现为沿车刀的方向上有显著的波纹，周期约为2800 μm，这表明这个振荡是同心误差，如图4（b）所示。

从图3中可以看出，围绕旋转中心的同心圆弧在表面上相对于工作坐标系（WCS）具有28°至152°的最大范围，这个范围关于90°对称。这意味着同心振荡在极坐标PSD中仅存在于该角度区域中。相应的，径向结构在118°至242°的角度区域中呈现最大值，以180°为中心，因为它们与同心振荡正交。

图5

图5表示用4种不同的白光干涉仪对25个车削和抛光后的测量点的组合极坐标PSD图。如图5（a），在空间频率约为1.5×10-2/μm处，存在以90°（并且也以270°）为中心的主峰（参见标记1a）。因此，它们一定来自同心振荡并且存在于整个表面中。此外，高频误差在相同的角度区域产生了额外的峰值。其峰值在较低空间频率区域内集中于90°（2a）处，这表明在图3（b）所示元件表面的中间区域（Y轴处）存在许多不同的振荡。以180°为中心（并且也以360°为中心），在5×10-3/μm处，存在另一些峰，这表明它们属于径向表面误差（3a）。在200°处，这些峰值特别大，这意味着那些径向结构在元件表面的底部区域更明显。在该位置处，存在另一个径向波纹，空间频率为1.3×10-3/μm。 

从抛光前后的PSD图对比可以看出，所有的峰值都被抑制在1×10-2/μm以下，因为抛光可以很好地校正这些高空间频率（High Spatial Frequency, HSF）误差。在较低的空间频率区域中，位于90°处的一些峰表示剩余的同心表面误差部分恶化（2b），以180°为中心的径向表面误差的峰值减小（3b），但是在1.3×10-3/μm处的单峰仍然清晰可见（4b）。

图6 超精密单点金刚石车床

耐德佳的超精密金刚石车削工艺便利用PSD工具对自由曲面进行公差分析，提高了其车床的精度，从而显著地提高了切削精度。耐德佳的超精密加工服务，不仅可以对镍、铜、铝、金、树脂等材料进行超精密加工，加工面型的精度可以达到0.3 μm，表面粗糙度可以达到3 nm Ra，也可用于制造光学透镜、反射镜、棱镜、光学模具，还可对平面、球面、非球面等旋转回转曲面及自由曲面、柱面等三维复杂曲面进行超精密加工，加工面型精度可以达到0.1 μm，表面粗糙度可以达到1 nm Ra。