在日常生活中，不确定性问题随处可见：手机推荐的歌曲是否符合偏好？医生发现患者发烧后，如何判断病因是否为感冒？这类问题的核心，是利用已知信息推断未知结果。贝叶斯定理正是解决此类不确定性推理的数学工具。贝叶斯定理由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯提出，其核心思想是利用新获取的证据，修正对事件的原有判断，这一思想为不确定性推理提供了科学的数学框架。例如，若最初判断当日降雨概率较低，观察到乌云密布这一证据后上调降雨概率的思维过程，就是贝叶斯逻辑的直观体现。
贝叶斯定理公式
贝叶斯定理的基本公式如下：
该公式描述的基本结论是：
在事件 已经发生的条件下，事件 发生的概率，可以通过事件 发生时 发生的概率、事件 的初始概率，以及事件 本身的总概率计算得出。
其中事件 的初始概率 称为先验概率。事件 发生时 发生的概率 称为似然概率。事件 本身的总概率 称为证据概率。在事件 已经发生的条件下事件 发生的概率 称为后验概率。如下图所示。
先验概率
先验概率（prior）是指在未获得观测证据时，基于历史统计数据、领域知识或经验归纳，对事件 发生概率的初始估计。它反映事件在总体样本空间中的固有特征，是概率推断的起点。
在感冒诊断场景中，事件 定义为个体患感冒，假设采用二元变量量化（ 代表患感冒， 代表未患感冒）。依据疾控中心流感监测报告，某季节人群感冒流行率为 20%，由此确定先验概率：
（患感冒的先验概率）
（未患感冒的先验概率）
似然概率
似然概率（likelihood）是指在事件 确定发生的条件下，观测到证据 的概率，它量化了事件与证据的关联强度，直接影响后验推断的精准度。在感冒诊断场景中，证据 为个体出现发烧症状，似然概率即不同健康状态下出现发烧的概率。
结合临床统计数据与医学常识，似然概率如下：
-
当个体患感冒（ ）时，发烧为典型症状，约 80% 的感冒患者会出现发烧，故 ；
-
当个体未患感冒（ ）时，发烧多由其他原因引发，概率仅约 5%，故 。
证据概率
证据概率（evidence）指观测证据 在总体样本中的发生概率，核心作用是作为归一化因子，确保后验概率满足所有结果概率和为1的概率公理，使推断结果具备统计学意义。证据概率又称为边际概率（marginalization）。
在感冒诊断的例子中，发烧的成因仅含感冒引发或非感冒引发两类互斥情况，因此发烧总概率为两类情况概率之和，推导可得证据概率计算公式：
结果表明当前人群中随机抽取 1 人，发烧概率为 20%。该数值客观反映了发烧症状的流行程度，为后验概率计算提供基础。
后验概率
后验概率（posterior）是指纳入证据 后，事件 发生的条件概率。后验概率融合了先验信息与观测证据，相比先验概率判断更精准、更具指导意义。
在感冒诊断的例子中，我们的最终目标是计算已知发烧（B发生）时，个体患感冒（ ）或未患感冒（ ）的概率。将先验概率、似然概率与证据概率代入贝叶斯定理公式，可以得到患感冒的后验概率为
未患感冒的后验概率为：
未观测发烧时，患感冒概率仅 20%（ ），纳入发烧证据后概率提升至 80%（ ）。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理的价值远不止于日常场景，在人工智能、医学、金融等关键领域均扮演着核心角色。它的核心优势在于，即便在信息不完整、数据有限的情况下，也能有效融合先验信息与观测证据，为决策提供可信的量化推断支撑。以下是其典型应用实践。
临床诊断中，医生的诊断过程本质上是贝叶斯推理的过程。以肺癌诊断为例，医生会收集患者吸烟史、胸痛症状等观测证据，结合肺癌在人群中的发病率，以及肺癌患者出现相关症状的概率，通过贝叶斯公式计算患者患病的后验概率。这种量化分析能为诊断提供客观依据，显著降低误诊风险。
金融风控领域，贝叶斯定理是风险量化的关键工具，尤其在银行信贷审批场景中发挥重要作用。审批系统以申请人的征信记录、收入水平、负债情况等为观测证据，参考同类客户的历史违约率，以及违约客户呈现相关特征的概率，计算申请人的违约后验概率，为放贷决策提供明确的风险量化支持，助力银行平衡业务发展与金融安全。
贝叶斯定理还具备独特的迭代更新特性。当获取新的观测证据（例如医生后续发现患者除发烧外还伴有咳嗽症状）时，可将上一轮计算得到的后验概率直接作为新的先验概率，融入新证据重新推演，让推断结果持续优化。