本节我们将多变量梯度下降法进行矩阵化改造。这种改造将会带来很多好处。首先是简化逻辑，用统一的矩阵运算替代逐样本、逐参数的重复计算，步骤更清晰。其次，矩阵运算依托底层优化库，通过并行计算、缓存优化等技术，比手动循环计算快一个数量级，样本越多优势越明显。此外，当影响房价的因素（如面积、房间数、楼层等）增加时，无需修改核心运算逻辑，仅需调整矩阵维度即可实现扩展。
我们还是以房屋面积和数量两个因素预测房价的例子为例，从简单计算到批量求解，逐步完成梯度下降法的矩阵化改造。 单个房屋的房价预测公式为 。对于 个样本，需要逐个计算：
（ ）
其中 是第 套房屋的面积， 是第 套房屋的房间数量， 是第 套房屋的预测房价。我们使用 表示第 套房屋的真实价格。
为了让基础房价 能和权重 一起参与批量计算，需要给数据矩阵增加一个取值全为1的列，形成增广特征矩阵。即数据矩阵由 矩阵变化为 的增广特征矩阵：
每行对应 1 套房屋，结构为 ，最后一列的 1 是基础房价 的系数，确保 能融入矩阵运算，无需单独处理。
为方便统一管理和更新，将面积权重 、房间数权重 和基础房价 整合为一个 3 维列向量：
为便于批量对比预测结果，将 套房屋的实际房价整合为一维列向量：
有了上述矩阵，我们可以将逐个样本的预测公式表达为以下矩阵预测公式：
我们在上一节介绍的均方误差损失函数公式为
其中 是第 套房屋的预测房价，是预测结果向量 的第 个元素。 是真实结果向量 的第 个元素。观察上述损失函数公式右边求和公式内部，我们发现它正是误差向量 的第 个元素的平方，根据向量内积的定义，整个求和公式可以表示为：
因此均方误差损失函数可以表示为以下矩阵和向量的表达式：
基于上述损失函数表达式，计算梯度向量（包含所有参数的梯度，与 维度一致）：
现在，我们可以将梯度下降法更新参数的迭代公式写为以下批量方式：
其中 为学习率。利用上述更新式，我们无需逐个调整参数，通过向量减法、矩阵转置、矩阵和向量乘法等操作可一次性完成所有更新。
在 Numpy 中，矩阵乘法可以使用np.matmul或@操作符实现，矩阵转置则可以使用np.transpose函数或者ndarray的.T属性来计算。在构造增长矩阵时，需要生成全1列，可以用np.ones 函数，它的作用是创建指定形状、元素均为 1.0（默认浮点型）的数组。其基本语法为 np.ones(shape, dtype=None)，其中 shape 是必填参数，可传入整数（生成一维数组）或元组（生成多维数组），用于指定数组的维度；dtype 是可选参数，用于指定数组的数据类型（默认是 float64，可指定为 int 等）。
np.column_stack 是 Numpy 中按列方向拼接数组的函数，核心作用是将多个一维或二维数组拼接成一个新的二维数组。其基本语法为 np.column_stack(tup)，其中 tup 是待拼接的数组序列（需用括号括起，数组间用逗号分隔）。以下是构造增广特征矩阵示例代码：
import numpy as np
# 准备原始特征（x1、x2 为一维数组，样本数量均为 n）
n = 6
x1 = np.array([2, 3, 5, 7, 11, 13])
x2 = np.array([4, 6, 8, 10, 12, 14])
# 生成偏置项全1数组
bias = np.ones(n)
# 按列拼接特征与偏置项，得到 (n, 3) 增广特征矩阵
X = np.column_stack((x1, x2, bias))
# 验证结果
print("增广特征矩阵 X：")
print(X)
print("X 的形状：", X.shape)