从已知分布生成样本，是指基于明确的分布类型（如正态分布、二项分布）及该分布的参数（如正态分布的均值 和方差 、二项分布的试验次数 和成功概率 ），通过随机数生成算法或数学转换，构造出一组服从该分布规律的模拟数据的过程。
这一技术的价值体现在三方面：一是缓解数据稀缺困境，例如医疗影像因隐私限制难以规模化获取，可通过少量真实样本拟合分布后生成模拟数据；二是降低研发成本，无需重复采集真实数据就能为研究提供多样化的数据素材；三是支撑算法验证，可生成符合特定规律的数据检验方法的鲁棒性，例如用泊松分布模拟设备故障数据，验证预警算法的灵敏度。
样本生成的基本方法与流程
从已知分布生成样本以均匀随机数为基础，通过分布转换实现目标样本构造。对于各类离散型分布与连续型分布，生成样本的流程可分为以下三个步骤：
第一步：确定目标分布及参数。 需结合业务场景或真实数据拟合结果明确模型，例如通过学生身高数据拟合出正态分布 ，或根据产品质检需求设定二项分布 。
第二步：生成基础均匀随机数。 获取 区间的均匀分布随机数 ，这是所有样本生成的基础。计算机可通过线性同余法、硬件噪声等方式高效生成高质量均匀随机数，确保其具备统计独立性与均匀性。
第三步：分布转换与样本输出。 根据目标分布特性选择对应方法，将均匀随机数映射为目标样本。主要转换技术包括：一是逆变换法，利用分布的累积分布函数（CDF）逆函数实现转换，适用于指数分布等逆函数可解析的场景；二是特殊变换法，如 Box-Muller 变换用于正态分布；三是接受-拒绝法，适用于逆函数难以求解的复杂分布。
均匀分布随机数
均匀分布随机数特指取值在 区间内均匀分布随机数，其概率密度函数为：
均匀分布随机数的生成是所有分布生成样本的基本操作。任何分布的样本都可通过均匀随机数转换得到，例如离散型分布的概率区间匹配、连续型分布的逆变换，均以均匀随机数为中介。
常见获取方式分为伪随机数生成和真随机数生成两大类。伪随机数生成方法是目前应用最广泛的类型，其核心是通过确定性数学算法，以初始种子值为起点迭代运算，输出符合均匀分布统计特性的数值序列。这类方法生成速度快、可复现（固定种子即得相同序列）、无需专用硬件，满足工程仿真、数据分析等绝大多数场景需求。真随机数生成方法则基于物理现象的固有随机性，通过专用硬件采集半导体热噪声、大气噪声、量子力学现象等随机信号，经数字化处理后得到均匀随机数。其优势是具备真正的不可预测性，安全性极高，适用于密码学、高安全通信等特殊场景，但存在生成成本高、速度相对较慢的局限性。
在大部分场景下，伪随机数生成方法是首要选择。以下以原理简单、应用广泛的线性同余法为例，介绍其主要生成流程。线性同余法通过固定数学公式迭代运算，四步即可生成 区间的均匀伪随机数，是数据处理工具的常用方案。
1. 确定参数与公式 核心是一个迭代公式： ，需预先设定四个参数： （乘数，如1103515245）、 （增量，如12345）、 （模数，如 ，决定数值范围）、 （种子，生成序列的起点）。
2. 输入初始种子 种子为非负整数，是伪随机数可复现的关键——固定种子后，生成的序列完全相同，方便实验验证。例如设定 ，代入上述参数运算。
3. 迭代生成整数 将种子代入公式循环计算，前一次结果作为下一次输入。如第一次运算： ，依此生成连续整数序列。
4. 归一化得均匀随机数 生成的整数范围为 ，将其除以 即可转换为 区间的均匀随机数。例如 归一化后为 ，满足均匀分布要求。
常见分布的样本生成方法
下面我们选择离散型分布中的二项分布和泊松分布，以及连续型分布中的正态分布和指数分布，介绍其样本生成方法。
1. 二项分布
二项分布描述 次独立伯努利试验中的成功次数，参数为试验次数 和单次成功概率 ，其概率质量函数为 （ ）。生成方法为伯努利试验叠加法，其原理为二项分布样本是 次伯努利试验结果之和，具体步骤如下：
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生成 个 区间的均匀随机数 ；
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对每个随机数进行判断，若 则记为 1（代表试验成功），否则记为 0（代表试验失败）；
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将 个结果求和，得到一个二项分布样本；
-
重复上述步骤，生成所需数量的样本。
2. 指数分布
指数分布的抽样可通过逆变换法高效实现，其理论依据源于概率积分变换定理：
对于任意累积分布函数（CDF）满足严格单调递增且连续特性的目标分布，若设该分布的随机变量为 、其 CDF 为 ，则构造的新随机变量 服从 区间上的均匀分布。
基于这一核心定理，逆变换法的原理可简洁概括为上述结论的逆用：由于目标分布的 CDF 满足严格单调递增且连续的条件，其逆函数 唯一存在；若先获取 区间的均匀分布随机数 ，将其代入目标分布 CDF 的逆函数 ，则计算所得结果 恰好服从该目标分布。
指数分布概率密度函数为 （ ）。累积分布函数为 ，其 CDF 逆函数可直接求解为 。因此指数分布的样本生成直接采用逆变换法生成样本，步骤如下：
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确定率参数 和所需样本量 ；
-
生成 个相互独立的 均匀随机数 （注意 ）；
-
通过逆变换公式 计算每个随机数对应的指数分布样本。由于 与 同服从均匀分布，上述逆转换公式可简化为 。
3. 泊松分布
泊松分布刻画单位时间/空间内稀有事件的发生次数，参数为平均发生次数 ，其概率质量函数为 （ ）。注意到相邻事件时间间隔服从 ，因此我们可以利用指数分布来生成泊松分布的样本，步骤如下：
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预设参数 和所需样本量 ，初始化计数器 、累计时间 ；
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生成一个 均匀随机数 ，通过公式 计算相邻事件的时间间隔 ；
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将时间间隔累加到 中，若 （代表仍在单位时间内），则计数器 加 1，重复第二步；
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若 （代表超出单位时间），则当前计数器 即为一个泊松分布样本；
-
重置 和 ，重复上述步骤，直至生成 个样本。
4. 正态分布
正态分布概率密度函数为 。由于其累积分布函数（CDF）无解析逆函数，无法直接采用逆变换法生成样本，因此常用 Box-Muller 变换法这一特殊变换技术。
Box-Muller 变换法的核心是由 2 个独立 均匀随机数 ，生成 2 个独立标准正态随机数 。它的步骤如下：
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极坐标简化：标准正态变量 对应平面点，用极坐标表示： ， （ 为极径， 为极角）。 因正态分布对称性， 与 独立，可分别生成。
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生成极角 ： 服从 均匀分布，而 ，线性缩放得 。
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生成极径 ： 服从瑞利分布，其分布函数为 。 令 （均匀数匹配概率范围），解方程得： （因 与 同分布，简化所得）。
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还原正态变量：代入极坐标转直角坐标公式，得最终变换： ，
要生成服从 的样本，可以先使用 Box-Muller 变换法生成符合标准正态分布的样本，再通过线性变换得到目标参数的正态分布样本，步骤如下：
-
生成两个相互独立的 均匀随机数 和 （注意 ）；
-
通过变换公式计算标准正态分布（ ）样本： 、 ；
-
通过线性变换 ，将标准正态样本 转换为目标参数 的正态分布样本。
小结
除了逆变换法、Box-Muller 变换这类适用于简单分布的解析型采样方法，AI 图像等复杂数据生成场景更依赖数据驱动的生成式方法。主流包括生成对抗网络（GAN）通过对抗训练学习图像分布、扩散模型通过噪声迭代恢复真实样本，此外马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）和接受-拒绝法也可用于低维复杂特征采样，这些方法无需显式建模复杂分布，能高效生成高维、强关联的非结构化样本。
生成样本的质量评估方法
样本质量直接决定研究分析的最终效果，评估时需结合可视化、统计量、假设检验三类方法综合验证，确保样本符合预设的目标分布。在这三类方法中，可视化检验凭借直观易懂的优势，成为直观断样本分布形态的首要工具。可视化检验通过图形直观比对样本分布与目标分布的吻合度，常用工具主要有直方图和Q-Q图。
以直方图为例，我们可将样本的频率分布转化为柱状图呈现，同时叠加目标分布的概率密度函数或概率质量函数曲线，如下图左图所示。判断标准十分简单：若直方图的整体走势与理论曲线高度吻合，说明样本质量良好。比如当目标分布为正态分布时，合格样本的直方图会呈现典型的钟形，且柱状图的峰值位置、对称程度都与理论正态曲线基本一致。
Q-Q图是另一种可视化工具，其核心思路是对比样本分位数与目标分布分位数的对应关系，如上图右图所示。具体操作步骤为：先将样本数据按从小到大排序，计算出各分位点的实际值；再对应计算目标分布相同分位点的理论值；最后以样本分位数为纵轴、理论分位数为横轴绘制散点图。这类图形的判断标准同样直观：若散点大致落在对角线 上，就表明样本的分位数特征与目标分布高度匹配，样本符合目标分布要求。以正态分布样本为例，合格的Q-Q图中，散点会紧密贴合对角线；若散点出现明显偏离，比如两端向上翘起或向下弯曲，则说明样本不符合正态分布特征。
除可视化检验外，样本质量评估还会用到统计量检验与假设检验，此处仅做简要说明。统计量检验的核心是计算样本的核心特征，再与目标分布的理论特征进行比对，若两者差异极小，即可认为样本质量可靠。假设检验则是通过专业统计方法验证样本与目标分布的一致性，核心参考指标是 P 值，若该指标满足预设条件，就能判断样本符合目标分布。