行列式的线性

行列式本质上是一个函数，它接收一个方阵（或一组向量）并输出一个标量。这个函数的定义方式天然地包含了“对每一列都是线性的”这个特性。

我们将分两步来推导：

1. 证明加法性: 
2. 证明齐次性 (伸缩性): 

将这两点结合起来，就是**线性 (Linearity)**。

我们假设矩阵   的列向量为  ，其中：

所以，矩阵   写作：

1. 加法性 (Additivity) 的具体矩阵

在证明加法性时，我们考虑了第一列是两个向量   和   之和的情况。设：

那么，我们要证明的等式是：

写成具体的矩阵形式就是：

这个表达式非常直观地展示了线性代数中的“线性”概念：函数作用于和，等于函数分别作用于每个加数后的和。在这里，“函数”就是作用于第一列的行列式运算。

2. 齐次性 (Homogeneity) 的具体矩阵

在证明齐次性时，我们考虑第一列向量   乘以一个标量   的情况。 我们要证明的等式是：

写成具体的矩阵形式就是：

这说明，如果某一列有公因子  ，你可以把这个公因子   提到行列式外面。

3. 应用具体矩阵

现在，我们将以上性质应用到你最初的向量分解问题上。 向量   被分解为：

根据行列式的线性性质，我们有：

将这写成完整的矩阵形式，就是：

这个表达式就是你最初那段文字的最终代数体现。它清晰地表明，一个完整的行列式，可以被分解成三个“更简单”（因为第一列有很多0）的行列式之和，这与我们之前做的几何可视化是完美对应的。