我们来深入探讨“行列式 (Determinant)”这个既熟悉又神秘的概念。我们绝不从那个复杂的代数公式出发，而是完全遵循我们已经建立的认知路径：从线性变换的几何直观出发，去“发现”行列式存在的必然性和它深刻的几何意义。
如何用一个“数”量化一个线性映射？
我们在讨论了向量空间（基本上是n维数字的集合）以及作用于其上的线性映射。
现实世界中的地图，其实也是线性代数意义上的“映射”，因为它将地球表面的每一个点“映射”到了一张纸或桌面上。但它们通常不是线性映射，因为它们无法保持相对面积不变（例如，在某些国家地图中，韩国看起来比实际大得多，“打辆出租车去中国！”）。
一旦我们为向量空间选定了一组基（basis，即空间中 个“独立”向量的集合），那么该空间上的所有线性映射，都会被赋予一个唯一的矩阵来表示。
暂时，让我们将注意力集中在那些将向量从 维空间映射回同一个 维空间的映射上。这些映射对应的矩阵是 的方阵。我们自然会想，能否“量化”这样一个线性映射，用一个单一的数字来表达它对整个向量空间的影响？
这类映射的作用，本质上是将 空间中的向量进行某种“扭曲”，变成该空间中的其他向量。一个原始向量 被映射为新向量 ，它们各自都有长度（ 和 ）。我们或许可以思考，这个映射使向量的长度改变了多少，即研究比率 。这个比率能否量化映射的“拉伸”程度呢？
这个方法有一个致命的缺陷：这个比率不仅取决于线性映射本身，还取决于它所作用的那个具体向量 。 因此，它并不能严格地成为线性映射自身的属性。
那么，如果我们一次取两个向量 和 呢？它们被映射为新向量 和 。单个向量的度量是其长度，而两个向量的度量则是它们所夹平行四边形的面积。
我们可以考虑面积的变化率，但遗憾的是，这个比率同样依赖于我们最初选择的向量。接着，我们可以扩展到三个向量，考虑它们所构成的平行六面体体积的变化，但仍会遇到同样的问题。
然而，解决方案发生在当我们考虑一个 维区域时。这个区域拥有某种“ 维测度”。二维测度是面积，三维测度是体积。虽然四维测度在物理世界中没有直观对应，但在数学上是完全成立的。
个原始向量 构成一个 维平行多面体，它被线性映射变换为由 个新向量 构成的另一个平行多面体。现在，我们来考察这两个区域的 维测度之比。
事实证明，这个比率，竟然只与线性映射本身有关！
无论我们最初选择的 维区域长什么样、位于何处，经过线性映射后其测度与原始测度的比率都是一个恒定的值，它完全由该线性映射唯一确定。
这个比率，即一个线性映射改变任何 维空间区域测度的倍数，正是我们一直在寻找的那个量化指标。它被称为该线性映射的**行列式 (determinant)**。
计算行列式
那么，我们如何计算一个线性映射的行列式呢？
一个直接的方法是：任取 个向量，计算它们所构成平行多面体的 维测度，再计算映射后新向量所构成平行多面体的测度，最后求两者的比值。
为了让这个过程更具体，我们需要一个参照物。在 空间中，最简单的一组基向量就是标准基：
由这组标准基向量构成的“标准” 维区域（一个单位超立方体），其测度根据定义恰好为1。