新视角——以内积和“测量”为核心来解释解集的不变性——是极其深刻且富有启发性的。
这个视角能够完美地将我们之前学习的“内积几何”与现在正在进行的“代数操作”无缝连接起来，让学生从一个更根本的层面理解“为什么解不变”。
让我们来完全按照这个思路展开这一节的内容。
初等变换的“逻辑内核”：测量尺度的等价变换
第一幕：重新定义我们的舞台 —— 方程组即“测量协议”
在我们开始之前，必须彻底巩固“行视角”的内积解读： 一个线性方程组 ，不再是一系列等式，而是一份“测量协议”**。
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被测对象：一个未知的、客观存在的向量 。 -
测量工具：矩阵 的每一行 ，都是一把特制的“尺”。 -
测量动作：将“标尺” 与“对象” 进行一次内积运算 。 -
期望读数：测量结果必须精确地等于 。
解 ，就是那个独一无二的、能够通过所有这些内积测量检验的神秘对象。它在几何上，是所有由 定义的超平面的唯一交点。
我们的核心问题是：为什么我们对“测量工具”和“期望读数”进行初等变换后，最终诊断出的“被测对象” 居然没有变？
为什么是垂直的虚线：
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是尺子的长度（固定的）。 -
是期望的读数（固定的）。 -
是向量 的长度（可变）。 -
是 和 的夹角（可变）。
我们可以把公式变形一下：
这一项的几何意义是：**向量 在向量 方向上的投影长度（影子长度）。