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流形上的热核理论和指标定理(小结)
流形上的热核理论和指标定理(第八篇第1部分)：Mckean-Singer 定理与 Mckean-Singer 猜想
流形上的热核理论和指标定理(第八篇第2部分)： de Rham-Hodge 算子的局部指标公式的证明
流形上的热核理论和指标定理(第八篇汇总)： Mckean-Singer 猜想与 de Rham-Hodge 算子局部指标公式
二.现代数学之流形上的热核理论与指标定理中的 Hirzebruch 符号差算子的局部指标定理与热核
导读：关于 Hirzebruch 符号差指标定理的一个热核方法的证明 , 首先利用 Hodge 定理给出流形的 Hirzebruch 符号差算子的一个解析方面的介绍 , 接下来用热核方法给出 Hirzebruch 符号差算子的局部指标公式 , 然后从 Hirzebruch 符号差算子的局部指标公式出发 , 在流形上积分便可得到 Hirzebruch 符号差定理 . 与 de Rham-Hodge 算子的局部指标公式的热核方法的证明不同之处在于 , Hirzebruch 符号差算子的局部的指标公式的热核方法的证明要困难得多 , 这需要我们将它转化为一个形变得调和振子的解 , 事实上当流形是 -流形时 , Hirzebruch 符号差算子可以视为一个扭化的 Dirac 算子 , 进而可以由扭化的 Dirac 算子的局部指标公式来得到 Hirzebruch 符号差算子的局部指标公式 , 更多的参考文章和专著有《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》,《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》和《Y.Yu , Local index theorem for signature operators》.
以下是具体的文章汇总 , 感兴趣的读者可以跳转阅读：
流形上的热核理论和指标定理(第九篇)： 流形的 Hirzebruch 符号差算子的解析解释和局部指标公式
流形上的热核理论和指标定理(第十篇)： 流形的 Hirzebruch 符号差算子的局部指标公式的证明
流形上的热核理论和指标定理后续更新计划
※ 现代数学之流形上的热核理论与指标定理中的 Dirac 算子的局部指标定理与热核(未完成……)
1963年 Atiyah 和 Singer 给出了自旋 -流形上的扭化 Dirac 算子及其局部指标定理 , 并给出了该定理的一个热核方法的证明 , Atiyah-Singer 指标定理的最初证明使用了 Thom 配边理论 , 随后他们又给出了该定理的一个 -理论方法的证明 , 其中 Bott 周期性定理起到了关键作用 , 详细内容可以参考《M.F.Atiyah and I.M.Singer , The index of elliptic operators on compact manifolds》和《M.F.Atiyah and I.M.Singer , The index of elliptic operators I~V》两篇文章. 事实上扭化 Dirac 算子的重要性还在于 , 一些算子包括 de Rham-Hodge 算子 , Hirzebruch 符号差算子以及复几何中的 Riemann-Roch 算子等在某种意义上均可以看作一个扭化 Dirac 算子 , 从而关于这些算子的局部指标定理均可以由扭化 Dirac 算子的局部指标定理得到 , 更多的参考文章和专著有《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》和《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》.
※ 现代数学之流形上的热核理论与指标定理中的 Lefschetz 不动点定理与热核(未完成……)
一方面 , 我们会介绍经典的 Lefschetz 不动点定理并给出一个基于热核方法的证明 , 另一方面 , 我们还会介绍由 Atiyah 和 Bott 推广的不动点定理 . 作为应用 , 将会对存在仅有非退化零点的全纯向量场的紧复流形的情形 , 给出 Riemann-Roch-Hirzebruch 定理的一个特殊情形的证明 , 同时我们也会给出全纯 Lefschetz 不动点定理和 Bott 全纯留数定理的证明 , 更多的参考文章和专著有《M.F.Atiyah and R.Bott , A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators》,《M.F.Atiyah and R.Bott , A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes I,II》,《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》,《R.Bott and L.Tu , Differential Forms in Algebraic Topology》,《P.Griffiths and J.Harris , Principles of Algebraic Geometry》,《T.Kotake , The fixed-point formula of Atiyah-Bott via parabolic operators》和《J.D.Lafferty , Y.Yu and W.Zhang , A direct geometric proof of the Lefschetz fixed point formulas》等 .
参考文献：
[1] N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators .
[2] M.F.Atiyah , R.Bott and V.K.Patodi , On the heat equation and the index theotem .
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