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昨天我们分享了3月理论物理的第一篇 , 今天我们分享3月现代数学的第一篇 , 主要内容是流形上的热核理论和指标定理方面的简要介绍 , 包括 Hodge 定理的热核方法的证明 , Gauss-Bonnet-Chern 定理的热核方法的证明 ，Hirzebruch 符号差指标定理的热核方法的证明 ，Dirac 算子和指标定理的热核方法的证明以及 Lefschets 不动点定理的热核方法的证明 . 原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！

流形上的热核理论和指标定理

1.《Hodge 定理的热核方法的证明》导读

对于闭定向 Riemnan 流形   , 我们定义了作用在流形   的外微分形式空间   上的 Laplace 算子并阐述了相应的 Hodge 定理 . 而 Hodge 定理是流形上整体分析的基本定理 , 该定理于1935年由 Hodge 首次给出 , 它的完整证明是 H.Weyl 在20世纪40年代得到 , Hodge 定理的一个重要应用是在流形   上的每个 de Rham 上同调类中确定了唯一的一个调和形式的代表元素 . 事实上关于 Hodge 定理在 Riemann 几何等方面的应用可以参考 H.Wu 的文章《H.Wu , The Bochner technique on differential geometry》. 另外还有一些文章和专著对 Hodge 定理作出了非常详细的解释且给出了不同版本的证明 , 我们可以参考《H.Wu and W.Chen , Riemann Geometry》 , 《H.Wu , Z.Chen and Y.Lü , Introduction to Riemann Surface》以及《A.N.Milgram and P.C.Rosenbloom , Harmonic forms and heat conductions》 ,《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》和《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》.

我们会介绍 Hodge 定理的一个基于热核方法的证明 , 主要来源于 Y.Yu 的专著《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》. 首先我们对流形上的一类广义 Laplace 型算子给出它的热核的定义 , 接下来在热核存在性的前提下讨论广义 Laplace 算子的热核的基本性质 , 然后就可以给出 Hodge 定理的热核方法的证明 , 同时我们也会介绍 Riemann 流形上的热核方程的 Cauchy 问题的解的存在性 , 解的唯一性以及解的正则性的相关定理 , 最后再给出热核存在的证明和热核的渐进展开定理 .

2.《Gauss-Bonnet-Chern 定理的热核方法的证明》导读

基于 Mathai 和 Quillen 构造的 Thom 形式 , 可以得到 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个几何方面的证明 , 如果引入 Laplace 算子的热核 , 那么就可以给出 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个解析方面的证明 . 最早是由 Mckean 和 Singer 在1967年左右给出了在二维情形下的证明 , 详细内容可以参考《H.Mckean and I.M.Singer , Curvature and the eigenvalves of the Laplacian》一文 , 特别地 Mckean 和 Singer 还提出了著名的 Mckean-Singer 猜想 , 这开启了流形上的椭圆微分算子局部指标定理的研究 . 1971年 V.K.Patodi 首次给出了 de Rham-Hodge 算子的局部指标公式 , 从而得到了 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个热核方法的证明 , 详细内容可以参考《V.K.Patodi , Curvature and eigenforms  of the Laplace operator》一文 . 后来受现代物理学中超对称思想的影响 , 关于局部指标定理的研究 , 无论是技术上还是思想上都变得简单清晰了 , 因此 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个热核方法的证明正是受此启发 , 更多相关的文章和专著有《M.F.Atiyah , R.Bott and V.K.Patodi , On the heat equation and the index theotem》,《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》,《E.Getzler , A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem》,《P.B.Gilkey , The Index Theorem and Heat Equation》和《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》.

3.《Hirzebruch 符号差指标定理的热核方法的证明》导读

关于 Hirzebruch 符号差指标定理的一个热核方法的证明 , 首先利用 Hodge 定理给出流形的  Hirzebruch 符号差算子的一个解析方面的介绍 , 接下来用热核方法给出 Hirzebruch 符号差算子的局部的指标公式 , 然后从 Hirzebruch 符号差算子的局部的指标公式出发 , 在流形上积分便可得到 Hirzebruch 符号差定理 . 与 de Rham-Hodge 算子的局部指标公式的热核方法的证明不同之处在于 ,  Hirzebruch 符号差算子的局部的指标公式的热核方法的证明要困难得多 , 这需要我们将它转化为一个形变得调和振子的解 , 事实上当流形是  -流形时 , Hirzebruch 符号差算子可以视为一个扭化的 Dirac 算子 , 进而可以由扭化的 Dirac 算子的局部指标公式来得到 Hirzebruch 符号差算子的局部指标公式 , 更多的参考文章和专著有《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》,《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》和《Y.Yu , Local index theorem for signature operators》.

4.《Dirac 算子和局部指标定理的热核方法的证明》导读

1963年 Atiyah 和 Singer 给出了自旋  -流形上的扭化 Dirac 算子及其局部指标定理 , 并给出了该定理的一个热核方法的证明 , Atiyah-Singer 指标定理的最初证明使用了 Thom 配边理论 , 随后他们又给出了该定理的一个  -理论方法的证明 , 其中 Bott 周期性定理起到了关键作用 , 详细内容可以参考《M.F.Atiyah and I.M.Singer , The index of elliptic operators on compact manifolds》和《M.F.Atiyah and I.M.Singer , The index of elliptic operators I~V》两篇文章. 事实上扭化 Dirac 算子的重要性还在于 , 一些算子包括 de Rham-Hodge 算子 , Hirzebruch 符号差算子以及复几何中的 Riemann-Roch 算子等在某种意义上均可以看作一个扭化 Dirac 算子 , 从而关于这些算子的局部指标定理均可以由扭化 Dirac 算子的局部指标定理得到 , 更多的参考文章和专著有《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》和《Y.Yu , The index Theorem and the Heat Equation Method》.

5.《Lefschetz 不动点定理的热核方法的证明》导读

一方面 , 我们会介绍经典的 Lefschetz 不动点定理并给出一个基于热核方法的证明 , 另一方面 , 我们还会介绍由 Atiyah 和 Bott 推广的不动点定理 . 作为应用 , 将会对存在仅有非退化零点的全纯向量场的紧复流形的情形 , 给出 Riemann-Roch-Hirzebruch 定理的一个特殊情形的证明 , 同时我们也会给出全纯 Lefschetz 不动点定理和 Bott 全纯留数定理的证明 , 更多的参考文章和专著有《M.F.Atiyah and R.Bott , A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators》,《M.F.Atiyah and R.Bott , A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes I,II》,《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》,《R.Bott and L.Tu , Differential Forms in Algebraic Topology》,《P.Griffiths and J.Harris , Principles of Algebraic Geometry》,《T.Kotake , The fixed-point formula of Atiyah-Bott via parabolic operators》和《J.D.Lafferty , Y.Yu and W.Zhang , A direct geometric proof of the Lefschetz fixed point formulas》等 .

参考文献：

[1] N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators .

[2] M.F.Atiyah , R.Bott and V.K.Patodi , On the heat equation and the index theotem .

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