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在这个Module以及接下来的课程里面，我们将会介绍怎样构建GLM并将其用于fMRI。
fMRI数据的统计分析有多个目标：
---定位被任务激活的脑区
---确定对应于大脑功能的神经网络
---从fMRI数据中得出对于心理或疾病状态的预测
下图是数据处理的流程，红色方框表示我们现在正在学习的部分。
图1 数据处理的流程
而上述的fMRI的目标都能用GLM来达到。
为了给讲解GLM分析过程做一个铺垫，我们要知道它通常来说是一个具有两个层级的分析，第一层级是我们先对单个被试进行被试内效应的分析，第二层级是我们在多个被试间进行被试间分析或者组间分析。进行GLM分析，我们惯用的一种方式是阶段式，即先做第一层再做第二层；另一种方式则是层级式，即用一个综合模型同时结合这两个层级。
因此我们在处理数据时，第一步是建立模型（model building），然后用该模型结合真实数据和估测数据，推测出每个体素（voxel）上的效应，这样就可以计算出对比图像（contrast images），这些图像又与从其他被试中得出的图像相结合，一起置于组分析中。最后我们就可以推测哪些脑区在那个组中得到了激活，并对这些脑区进行解剖上的定位。
图2 GLM分析流程
接下来我们来进一步了解GLM分析。
GLM其实有很多种形式，首先要讲的是GLM的检验形式。
GLM方法把数据看作是模型函数（predictor：预测因子，也可以说是预测变量、自变量）和噪声（误差,error）的线性结合，其实说白了，就是把数据拆分成两部分，一部分是用这个模型可以解释的数据（predictor），另一部分则是用该模型不能解释的数据（error）。我们假设这些模型函数的形状是已知的，直线或是已知的曲线，但其大小（如斜率）是未知的，需要进一步计算。
GLM框架包含了很多经常用在fMRI数据分析上的技术。
然后我们来看GLM的整个家族，即其所有形式。
先来看下图：
图3 The GLM Family
一种是简单回归（simple regression），它只有一个结果，一个预测因子；
一种是ANOVA（方差分析），这是一种多类别的分析。
以上这两个例子都属于GLM，所以它们都包含在广义GLM框架中。同时，这两个例子也属于GLM的另一种次级分类，即多重回归（multiple regression），这是一种只有一个结果但有多个预测因子的形式。其实，任何能够在ANOVA框架内进行的方差分析，也可以在回归框架（多重回归）内进行。所以说，这些分析方法在机械论水平上都是共通的，它们都是GLM的特例。
更宽泛地讲，多重回归是GLM的一个形式或者说是GLM的一个形式的分类，它包含了混合效应模型（mixed effects model）、层级模型（hierarchical models）时间序列模型（timeseries models）和robust models以及penalized regression models（LASSO、Ridge等）。
最后还有一种广义线性模型（generalized linear models），它包含了非正常误差（non-normal errors）、不同误差分布和逻辑回归（logistic regression）。
图中的闭型解（closed form solution）是一种用来解答方程的代数方法，能以一个步骤就估算出那个模型。
下面举一个最简单的例子：简单线性回归（simple linear regression），只有一个预测因子和一个结果。如下图：
图4 简单线性回归及其步骤
第一步是确定模型（specify model）。我们假设预测因子和结果之间存在线性关系，这就是所谓的模型了，把复杂的数据简化为一个简洁的形式。
第二步是估算模型（estimate）。计算其斜率和截距。
第三步是统计推断（statistical inference）。计算其斜率的显著性和P值，即在虚无假设之下观察到的斜率有多大可能性是事实上其中并无线性关系。
第四步是科学解释（scientific interpretation）。即当我们找到了显著性的效应，接下来就要对这个关系的意义作出科学解释。
下图是GLM family的另一种视图：
图5 the GLM family
通过一个连续变量，所有的GLM模型都被描述为结果的独立变量。所以连续独立变量只有一个，基于预测因子的结构，那么我们就是在做不同类型的检验。所有的GLM检验，其基本的线性代数方程都是一样的。
所以如果连续预测因子只有一个，那这就是简单回归；
如果连续预测因子有两个，那就是多重回归；
如果类别型预测因子只有一个，并且有两个水平，那就是t检验；
如果类别型预测因子只有一个，有三个及以上个水平，那就是单向ANOVA；
如果类别型预测因子有两个或更多，而且是根据因素来排列的，那就是因素ANOVA。
而GLM的另一个重要的延伸，就是我们对同一群人有多个观察数或者重复测量（即重复测量设计），如图5中的下半部分。在这里要说明的一点是，因为这是对同一群人进行的多次测量或者说是多个观察值，所以这些观察值和测量就不再是独立的了。
如果只有一个被试内预测因子，两次重复测量，这就是匹配t检验（paired t-test）；
如果有k次重复测量（k>2），被试内预测因子是k-1个，这就是单向重复测量ANOVA(one-way repeated measures ANOVA)，这种数据也可以使用MANOVA来分析；
如果重复测量是多次的，而且测量顺序是以因素结构来排列的，这就是因素重复测量ANOVA（factorial repeated measures ANOVA），这在功能神经成像实验中很常用；
如果重复测量还是多次的，被试内预测因子也存在，但是加入了一个被试间预测因子，我们就直接把这个称作GLM，说明我们可以混合和匹配被试内与被试间变量，并将其纳入同一个分析框架中。
还有另外一个重要的相关延伸就是囊括了其他相关的误差结构GLM形式，例如时间系列相关，即当前时刻点的事件取决于之前时刻点，每个时刻点的测量都不是独立的。这其实就跟股市是一样样滴，现在的涨涨跌跌会影响之后一段时间内的升降。
我们在前面提到了很多次GLM的模型（model），而下图就是GLM的基本模型：
图6 多重回归模型
（以下这些带下标的β实在不好弄上去，只好直接整个都用截图，导致字体格式稍微有点不一样，忽略忽略哈哈）
图7 回归方程的矩阵形式
这就把Y还原成一列观察数据；X部分则是以设计矩阵（design matrix）的概念上的建模，即把截距加上所有其他的预测因子，而截距通常是一个常数，在这个例子中它只是一列数字1；再加上一列预测因子或模型里的回归量；而β则是模型参数（model parameters）的向量，是模型里的所有回归斜率；最后是误差ε，即残差（residuals）。
课程的最后我们再来看一个非fMRI例子，在下一课会把这个放入fMRI背景内，所以现在只是作一个铺垫（总算到最后了……真是不容易）。
我们想要知道的问题是：运动量是否能预测寿命？
在这里，结果就是寿命，而预测因子是运动量（连续变量），还有一些比较重要的协变量如性别（男、女）等，所以在这个模型里我们就有两个预测因子（运动量、性别）。
然后我们来看看数据是怎样的（这组数据是模拟数据，不要当真哟）：
图8 运动量与寿命的数据分布
运动量显示在x轴，寿命在y轴，有两个组别：男性组、女性组，一眼就看得出男女之间是不一样的，而这个类别变量则是一个额外变量。
所以我们看得到控制了性别变量下的运动的效应，控制了运动量下的性别效应。
然后我们再来看矩阵角度下这个例子是怎样的：
图8 以矩阵形式来展示数据
在这里，结果数据即是寿命，它是一个连续变量，如图8左边所示。这组数据可以分解为能够用设计矩阵建模的部分，而截距是一个常数，运动效应是连续的。性别是类别变量，因为它有两个类别，在回归中，我们可以把女性写作1，而男性写作-1。然后设计矩阵（X）会与模型参数（β）相乘再加上误差残差（ε）。
这个例子说明我们可以用GLM简单地处理比较复杂的实验设计，这种设计就是所谓的an ANCOVA设计（注意，并不是ANOVA哦，至于这个ANCOVA是啥我就不继续解释啦，这个已经不是我这节课的内容了）。
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摘自知乎专栏“原来大脑是这么工作的”专栏
https://zhuanlan.zhihu.com/p/22461558