数学都知道― AMS专辑（2023.01.02）

故事：离散分数阶微积分

The Story: Discrete Fractional Calculus
https://www.ams.org/journals/notices/202202/rnoti-p180.pdf

本文通过离散分数微积分的镜头呈现对单调性和凸性的理解。在这样做的过程中，我们看到分数差分的非局部性质如何导致令人惊讶的结果，这些结果违背了学生在微积分入门课程中获得的单调性和凸性的直觉。分数差分的非局部性质也对生物建模产生了有趣的应用。

维纳-温特纳遍历定理，简介

Wiener-Wintner Ergodic Theorem, in Brief
https://www.ams.org/journals/notices/202202/rnoti-p198.pdf

1941 年，N. 维纳和 A. 温特纳引入了对 Birkhoff-Khinchin 遍历定理的强化，这引发了对遍历理论中的一般现象的研究，在这种现象中，采样对于无数个系统都是“好的”。本文简要介绍了该定理并讨论了它如何在研究 Furstenberg 平均值、立方体平均值和返回时间定理中发挥关键作用。

化学、计算和社交网络中的应用范畴理论

Applied Category Theory in Chemistry, Computing, and Social Networks
https://www.ams.org/journals/notices/202202/rnoti-p292.pdf

通过互联网和社交媒体、地球气候和生态挑战、跨国组织和全球供应链，社会变得越来越复杂和相互联系。为了在这个网络化的世界中导航和发展，我们依靠科学进步来帮助我们通过实现强大的沟通、合作和协作来管理这种复杂性。大约在过去十年中，越来越多的研究人员已经意识到范畴论的某些方面使其在某些纯数学环境中有用，也使其对研究物理和概念系统的底层结构有用。相关阅读：

• https://johncarlosbaez.wordpress.com/2022/01/26/categories-in-chemistry-computing-and-social-networks
• https://johncarlosbaez.wordpress.com/2022/01/26/learning-computer-science-with-categories
• http://www.neverendingbooks.org/poly

三维打印数学

Printing mathematics in 3 dimensions
http://www.ams.org/news?news_id=6961

数学中充满了令人费解的形状。以巴特面（Barth Sextic）为例——它是具有 65 个奇异点的复杂三维投影空间中的六面体。要在真实的三维空间中可视化相应的表面，您需要一个计算机程序来生成图像。但是，如果你真的可以创建物理对象呢？

Grace Wahba 和威斯康

星样条学校

Grace Wahba and the Wisconsin Spline School
https://www.ams.org/journals/notices/202203/noti2438/noti2438.html

Grace Wahba 以威斯康星样条学校之母而闻名，她是她、合作者和几代学生开发的一系列数据平滑方法的主要推动力。本文概述了数据平滑的平滑样条方法。

随机网络和反映布朗运动：Ruth Williams 的数学

Stochastic Networks and Reflecting Brownian Motion: The Mathematics of Ruth Williams
https://www.ams.org/journals/notices/202203/rnoti-p363.pdf

Ruth Williams 为理解反射扩散做出了基础性贡献，并极大地促进了对大量流量大的随机网络的科学理解。这篇文章介绍了她惊人的职业生涯的主题。

尼娜·乌拉尔采娃

Nina Nikolaevna Uraltseva
https://www.ams.org/journals/notices/202203/noti2440/noti2440.html

Nina Uraltseva 凭借她在分析和偏微分方程各个方向的开创性工作以及优雅和复杂的分析技术的发展，为数学做出了持久的贡献。本文总结了她的工作，并提供了一些关于选定结果的细节。

大圆和小圆

Circles Great and Small
https://www.ams.org/journals/notices/202203/rnoti-p465.pdf

在1370年，奥林匹克环还是三环。它叫博罗梅奥环（Borromean ring）。从拓扑的角度来看，这些环形成了一个 3 分量链接 𝐿，具有一个非常有趣的特性：虽然每对环本身形成一个 2 分量的非链接，但它们三个在一起是非平凡链接的。博罗梅奥环的吸引人之处之一是环的（表面上的）圆度（因此，人们感觉简单）与它们相互作用的过度复杂性之间的心理矛盾。图中的戒指看起来很圆，但人们觉得这一定是某种视错觉，就像埃舍尔的楼梯，或者彭罗斯的三叉戟。真正的完美圆形环无法以这种精确方式链接到 3 维空间。或者他们可以吗？

切触几何和映射类群

Contact Geometry and the Mapping Class Group
https://www.ams.org/journals/notices/202204/noti2460/noti2460.html

数学上，切触几何是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。本文介绍了一个曲面的映射类群；描述了从映射类构建三流形的技术；并探索映射类组中的代数结构与所得流形的一些几何性质之间的关系。继续阅读：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_class_group
• https://zh.wikipedia.org/wiki/切触几何

被困表面，黑洞拓扑和正质量定理

Trapped Surfaces, Topology of Black Holes, and the Positive Mass Theorem
https://www.ams.org/journals/notices/202204/noti2453/noti2453.html

爱因斯坦的广义相对论于 1915 年首次发表，成功地将狭义相对论与引力统一起来，并带来了许多后来得到验证的预测，标志着 20 世纪物理学的最大胜利之一。也许该理论最引人注目的特征之一是黑洞的概念 —— 一个连光都无法逃脱的区域。但究竟什么是黑洞？黑洞真的存在于自然界吗？黑洞与数学有什么关系？在这篇文章中，我们将展示彭罗斯关于捕获表面和边缘外捕获表面的开创性概念及其一些应用。

卡拉比–丘成桐度量的几何

Geometry of Calabi-Yau Metrics
https://www.ams.org/journals/notices/202204/noti2454/noti2454.html

卡拉比-丘度量以两位数学家的名字命名：E. 卡拉比和丘成桐。它们是几何和物理学中的基本对象。本文的主要目的是解释卡拉比-丘度量的一些结构和几何结构。我们的目标是有选择地讨论该领域的几个有趣的例子和一些最近的研究进展。

2022年数学艺术展奖

2022 Mathematical Art Exhibition Awards
http://www.ams.org/news?news_id=7008

2022 年数学艺术展览奖是在虚拟联合数学会议上颁发的，“奖赏结合数学和艺术的美学作品。”所选作品是从来自世界各地的数学家和艺术家在各种媒体上的评审作品展览中选出的。David Reimann 的“Septenary Circles”被授予最佳摄影、绘画或版画奖。Laura Nica 的“Scherk Minimal Surfaces”被授予最佳纺织品、雕塑或其他媒体奖。

通过非线性模型简化打破柯尔莫哥洛夫障碍

Breaking the Kolmogorov Barrier with Nonlinear Model Reduction
https://www.ams.org/journals/notices/202205/noti2475/noti2475.html

本文描述了线性模型简化的柯尔莫哥洛夫障碍，然后概述了非线性方法如何克服障碍。一个模拟火箭发动机单喷油器元件燃烧不稳定性的数值示例演示了自适应经验插值作为非线性模型简化方法的一个示例。

从零到正熵

From Zero to Positive Entropy
https://www.ams.org/journals/notices/202205/noti2478/noti2478.html

本文讨论了描述一大类二维动力学的暂定全局框架，部分灵感来自区间图的一维理论的发展。更准确地说，本文提出了一类介于一维和更高维之间的中间平滑动力学。

恒定平均曲率（超）表面的守恒定律和胶合结构

Conservation Laws and Gluing Constructions for Constant Mean Curvature (Hyper)Surfaces
https://www.ams.org/journals/notices/202205/noti2473/noti2473.html

本文调查了欧几里得空间中恒定平均曲率超曲面理论的现状。作者强调胶合结构和守恒定律，并强调守恒量在胶合中的作用。

非阿基米德动力学综述

A Survey of Non-Archimedean Dynamics
https://www.ams.org/journals/notices/202205/noti2472/noti2472.html

温加滕微积分

The Weingarten Calculus
https://www.ams.org/journals/notices/202205/noti2474/noti2474.html

每个紧致拓扑群在其 Borel 集上支持一个唯一的平移不变概率测度——哈尔测度。哈尔测度最初是由 Hurwitz 在 19 世纪为某些紧致矩阵群族构建的，目的是通过平均它们的动作来产生这些群的不变量。Diaconis 和 Forrester 从现代的角度审视了 Hurwitz 的构造，认为它应该被视为现代随机矩阵理论的起点。哈尔在 1930 年代发表了在局部紧群的更一般背景下的哈尔测度的公理化构造，在 von Neumann、Weil 和 Cartan 的工作中做出了进一步的重要贡献。哈尔测度最近作品的存在可以看作是该对象作为现代研究课题的及时性的标志。温加滕微积分在过去十年中迅速成熟，现在似乎是时候对该主题进行教学说明了。作者目前正在编写旨在满足这一需求的专着。在本文中，我们旨在为我们即将开展的工作提供一个易于理解且令人信服的预览，强调全局，但仍提供一些重要细节。

多尺度 PDE 的低秩逼近

Low-Rank Approximation for Multiscale PDEs
https://www.ams.org/journals/notices/202206/noti2488/noti2488.html

多尺度现象无处不在，在许多物理科学和工程领域都有应用：航空航天、材料科学、地质结构分析等等。不同的尺度往往具有不同的物理特性，它们纠缠在一起产生复杂的非线性。偏微分方程 (PDE) 通常用于对这些问题进行建模，在定义 PDE 的系数和函数中捕获了不同的尺度。这些 PDE 模型很难直接计算，因此已经开发和研究了专门针对多尺度问题的分析和算法。按照惯例，作者在这篇评论中关注具有两个不同尺度的问题，其中一个小的正参数 捕获了小尺度和大尺度之间的比率。

使用有限的颜色着色

Coloring With a Limited Paintbox
https://www.ams.org/journals/notices/202206/noti2490/noti2490.html

1852年10月23日，有人问奥古斯都德摩根，四种颜色是否足以为地图上的国家着色，以至于共享边界的两个国家必须使用不同的颜色。德摩根对后来被称为四色问题的问题没有答案，但那天他写信给威廉·罗文·汉密尔顿。这个问题直到 1976 年才由 Kenneth Appel、Wolfgang Haken、John Koch 和第一个主要的计算机辅助证明得到解决。在此过程中，开发了许多工具来解决它，包括色多项式，它最终在解决方案中没有任何作用，而是成为了自己的研究途径。在接下来的几页中，作者将探讨色多项式，它的泛化称为色对称函数，以及两个问题，很像四色问题，很容易陈述，但在25年后仍然存在。

用拉格朗日描述符的计算工具绘制动态系统的相图

Painting the Phase Portrait of a Dynamical System with the Computational Tool of Lagrangian Descriptors
https://www.ams.org/journals/notices/202206/noti2489/noti2489.html

我们描述了一种技术，即拉格朗日描述符方法，它提供了足够的灵活性和通用性，可应用于数学、科学和工程中的广泛应用。庞加莱说：“如果人们试图想象这两条曲线及其无数交点形成的图案，每个交点对应一个双渐近解，这些交点形成了一种格子结构，一种编织，一种由无限细网格组成的链环网络；两条曲线中的每一条都永远不会与自身相交，但它必须以非常复杂的方式向后折叠，以便无限次地重新穿过所有链节。人们会被这个数字的复杂性所震惊，我甚至不想画出它。没有什么比这更能让我们更好地了解三体问题的复杂性，以及所有一般动力学问题，......”

算术环多样性简介

A.T.V.’s for (Geometric) Off-roading: A Gentle Introduction to Arithmetic Toric Varieties
https://www.ams.org/journals/notices/202207/rnoti-p1113.pdf

A.T.V是Arithmetic Toric Varieties的缩写。数学中的一个基本问题是如何确定给定的有限多项式集合是否具有公共解，以及如何以有意义的方式量化和限定该解集的形状。事实上，线性代数是研究一阶多项式，而二次型理论研究二阶多项式。一般来说，这是代数几何和代数簇理论的出发点。超过在过去的几个世纪中，代数几何学家开发了一系列称为不变量的工具来研究此类几何对象。不变量是与数学对象相关联的数据片段（数字、集合、组、向量空间、类别），这些对象在实际上相同的对象上产生相同的输出，即在适当的意义上是同构的。换句话说，不变量是那些在同构下不变的关联。

复杂流形上的叶状结构

Foliations on Complex Manifolds
https://www.ams.org/journals/notices/202207/noti2507/noti2507.html

在这些笔记中，作者调查了复流形上的全纯叶理理论的某些方面。该理论的起源可以追溯到达布、庞加莱和潘勒韦的著作，在那里它被开发用于研究 上的常微分方程的解。他们简要讨论了该理论的一些早期作品，主要关注奇点附近叶子的局部行为。然后将焦点从本地属性转移到全局属性。双有理几何对全纯叶理的全局理论的发展产生了重大影响。在回顾了射影曲面的 Enriques-Kodaira 分类并解释了极小模型理论的一般原理之后，我们探索了他们最近的一些叶面对应物。