IEEE TAC：从矩阵到张量——高次Lyapunov函数逼近复杂系统真实吸引域

导语

电网受到扰动后能否恢复稳定，机器人偏离目标位置后能否重新到位，生态系统经历冲击后能否恢复原有平衡？即使系统能从小幅扰动中恢复，我们仍需进一步判断，沿不同方向偏离平衡状态多远，系统仍能回到原有平衡。把扰动结束时的状态视为新的起点，所有能使系统最终回到目标平衡点的初始状态，就构成了这个平衡点的“吸引域”。对于一般非线性系统，吸引域的完整边界很难算出，研究者往往先从中划出一片能够保证恢复的区域。经典矩阵李雅普诺夫方程可以直接给出二次李雅普诺夫函数，但由此估计的区域局限于椭球形。能否沿用经典方程的思路，直接求得高次多项式型Lyapunov函数解析式？2026年11月刊登于《IEEE Transactions on Automatic Control》（IEEE TAC）的武汉大学团队这项研究将经典方程推广为张量李雅普诺夫方程（TLE），在相应稳定性条件下给出了其唯一正定解的显式表达式。研究者据此构造四次、六次、八次等多项式李雅普诺夫函数，并给出两种判据，判断这些函数划出的区域是否完全位于吸引域内。

关键词：吸引域、张量李雅普诺夫方程、多项式李雅普诺夫函数、非线性动力系统、稳定性分析

论文题目：Beyond Quadratic Lyapunov Functions: Estimating Region of Attraction by Tensor Lyapunov Equations

论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/document/11569989

发表时间：2026年11月6日

论文来源：IEEE TAC

一、偏离平衡后，系统还能回来吗？

电网受到扰动、机器人偏离目标位置、生态系统经历外部冲击，都涉及同一个问题。即使系统能够从平衡点附近的小幅偏离中恢复，当偏离程度增大、偏离方向改变时，它还能回到原来的平衡状态吗？把扰动结束时的状态作为新的起点，所有能使系统最终回到目标平衡点的初始状态，共同构成这个平衡点的吸引域。

对于一般的非线性系统，精确求出整个吸引域往往很困难。一个可行的目标是先确定其中一块区域，保证系统从区域内任一状态出发都能回到目标平衡点。这就是吸引域内估计。

李雅普诺夫函数是完成这项任务的经典工具。它可以理解为给每个状态赋予一个类似能量的数值，在目标平衡点取零，在其他位置取正值。经典矩阵李雅普诺夫方程可以用来构造二次型函数。把函数值低于某个水平的状态圈起来，得到的区域呈椭球形。调整椭球的长短轴和朝向可以改变它在各个方向上的覆盖范围，但边界形状仍受二次型限制。

本文将经典矩阵李雅普诺夫方程推广为张量李雅普诺夫方程，用它求取四次、六次、八次等高次多项式的系数。这样，研究者可以从系统自身的动力学出发，构造形状更灵活的候选区域，再判断其中有多大范围属于吸引域。

二、从求解张量方程到确定吸引域内估计

第一步是确定候选函数。 研究者先考察目标平衡点附近的线性化系统，选定备选多项式李雅普诺夫函数的次数。由此可以列出关于多项式系数的张量李雅普诺夫方程。在计算上，即使要构造的是四次或六次多项式，决定其系数的方程仍然是线性的。论文证明，在线性化系统渐近稳定、给定的偶阶张量对称正定时，该方程具有唯一的对称正定解，并给出了显式积分表达式。由这个解可以直接得到候选函数。

第二步是判断这个函数在完整的非线性系统中能在哪里保持下降。 线性近似忽略了原动力学中的一部分，论文将这部分称为非线性余项。沿实际轨迹，线性部分使候选函数下降，非线性余项则可能削弱这种下降作用。为此，研究者考察非线性余项相对于状态偏差的大小，并寻找一个允许阈值。当这一相对量低于阈值时，就能保证函数值在平衡点以外严格下降。

论文给出了两种确定阈值的途径。定理2直接利用已求得的张量解，保留了与当前候选函数有关的信息。定理3利用线性化系统的指数衰减上界来估算阈值，简化了阈值的计算，所得条件通常更保守。两种方法的差别，可以在下一节的机械臂算例中直接看到。

第三步是从满足下降条件的状态中选出一个完整区域。 仅知道函数值在某个初始点下降，还需要保证轨迹在后续运动中始终满足下降条件。为此，研究者选定一个函数水平，把函数值低于这一水平的全部状态组成一个下水平集。只要整个集合除平衡点外都满足下降条件，轨迹就无法从内部越过函数值更高的边界，并会最终收敛到目标平衡点。

下水平集可以取多大，由一个具体可计算的优化问题决定。以优化结果作为临界水平，所有函数值严格低于它的状态便都通过了判据。这样，对给定的候选函数和判据，就能确定它们所允许的最大下水平集。

三、单连杆机械臂：

两种判据给出的范围相差多少？

一台单连杆机械臂的状态由关节角度和角速度共同决定。即使两次启动时关节处在同一位置，初始转动速度也可能不同。论文设定的控制目标是让关节角度回到1弧度，同时让角速度降到零。由于系统只有两个状态变量，不同方法得到的估计区域可以直接画在同一类坐标平面上比较。

图1给出了定理3所需的衰减信息。蓝线表示在线性化模型中，经过相同时间后，当前偏差与初始偏差之比在各个初始方向上的最大值。红色虚线是一条始终位于蓝线上方的指数曲线。用这条上界计算阈值较为简便，但它也把不同方向、不同时间的衰减表现概括成了同一个估计。

图1：机械臂线性化系统的偏差衰减曲线及其指数上界。

图2(a)和图2(b)分别展示两种判据的计算结果，蓝、红、黑三条边界依次对应二次、四次和六次函数。在这个算例中，定理3给出的范围比定理2更小。

图2：机械臂在角度与角速度平面上的吸引域估计。面板(a)、(b)分别对应定理2和定理3。面板(c)展示从(a)中二次型估计区域内选取的若干初始状态出发的轨迹，关节角度和角速度均趋向黑点所示的目标值。

四、八维耦合摆网络：

高次函数多覆盖了哪些初始状态？

第二个算例由四个相互耦合的阻尼摆组成。图3中的节点代表各个摆，箭头和权重描述摆之间的连接方向与耦合强度。每个摆的状态包含角度和角速度，四个摆合起来构成一个八维系统。此时，多个摆可以同时偏离平衡，估计区域能否覆盖这些组合起来的偏差，取决于它在八维空间中沿不同方向延伸多远。

图3：四个阻尼摆构成的有向加权网络及其耦合矩阵。

研究者在同一网络上采用定理2，分别计算二次、四次、六次和八次函数给出的区域。图4用九个二维截面展示这些八维区域。先看中央的面板(e)：其余三个摆都处于目标状态，横纵坐标分别表示第一个摆的初始角度和角速度。四条曲线给出了不同次数的估计区域在这个平面上截出的边界。再看左上角的面板(a)和右下角的面板(i)。这两个截面中，第三个摆已经具有给定的初始角度和角速度偏差。二次型椭球与这两个平面均无交集，而四次、六次和八次函数给出的区域仍能截出闭合曲线。由此可以具体看出高次边界多覆盖了哪些状态：当第三个摆已经偏离平衡时，第一个摆的角度和角速度仍可在一定范围内变化，这些组合初态落在高次估计区域之中。

图4：八维估计区域在九个平面上的截面。各行、各列分别对应第三个摆的不同初始角度和角速度。红、蓝、黑、绿线依次对应二次、四次、六次和八次函数。

论文还用蒙特卡洛抽样估算了各区域的八维体积。按原文报告的数值，二次和四次函数对应的体积约为299和4611，四次估计约为二次估计的15.4倍。从六次提高到八次时，估计体积约由6106增至6208，增幅约为1.7%。这些数值衡量的是不同方法在同一个系统中覆盖了多少初始状态。不同阶数的区域也可能在某些方向上彼此超出，因此，比较整体覆盖量可以看体积，关心某一组特定偏差时则要看相应方向上的边界。

结语：

把稳定性分析推进到扰动后的恢复范围

这项研究把经典矩阵李雅普诺夫方程的构造方法推广到了高次多项式。张量方程的唯一正定解给出了多项式系数，使候选边界的形状能够由系统动力学确定。随后，通过检查非线性余项并优化函数水平，研究者可以判断这一形状的边界能够扩展到哪里，仍可保证其内部的轨迹回到目标平衡点。

两个算例揭示了决定估计效果的两个因素。在机械臂模型中，即使候选函数相同，对非线性影响采用不同的估计条件，也会得到大小不同的区域。在耦合摆网络中，高次多项式则能够覆盖椭球遗漏的部分组合初态。对于多个状态变量会同时受到扰动的系统，这种对恢复范围的刻画，比单独给出某个变量所能承受的最大偏差提供了更完整的信息。

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