验算示例
单摆的动力响应

本例对单摆系统进行动力分析，对比理论解与RFEM数值解，验证RFEM的准确性。

单摆系统由一根无自重、不可伸长的柔索和末端质点组成。质点偏离平衡位置后，在重力作用下沿圆弧往复运动。重力的切向分量随摆角呈正弦变化。小摆角时，摆动可以近似为简谐振动；振幅增大后，振动周期随之增大。

本文取初始摆角 45°，由非线性运动方程求得摆角时程，并与 RFEM 的计算结果对照，检验大转动条件下的动力响应。

柔索上端铰接，末端连接质量为 50 kg 的质点。将质点置于与竖直向下方向成 45° 的位置，从静止状态释放。摆动限制在竖直平面内，不计空气阻力和支点摩擦。模型参数如下。

理论解

取支点为坐标起点，水平方向为  ，竖直向下为  。摆角   从竖直向下方向量起，向右为正。质点坐标为  、 ，初始坐标约为   m。

为比较相对于初始位置的运动，另定义转角增量：

释放时， ， ；经过最低点时， ， 。

柔索拉力沿径向作用，对支点的力矩为零。重力对支点产生恢复力矩  。

由转动方程  ，两边除以  ，得到非线性运动方程及初始条件：

方程中的质量相消，因此在摆长、初始摆角和重力加速度相同的条件下，质点质量不影响摆角时程。

求解该非线性微分方程，得到两个校验时刻的解为：

数值解

有限元模型由上端支承节点、下端质量节点和连接两节点的索单元组成。上端节点约束平移，下端节点在摆动平面内自由运动。索单元不计自重，轴向刚度取足够大，使伸长量相对于摆长可以忽略。

创建非线性时程分析工况，并指定质量来源和荷载系数时间曲线。

时程分析工况采用非线性隐式 Newmark；总时长 5 s。保存间隔 0.01 s；每个保存间隔分为 100 步，积分步长 0.0001 s。

转角增量需通过索的端部节点位移换算得到。

最终求得数值解如下

可以看到，RFEM数值解与理论解吻合良好。