第十节 数学的肯定
我们已经看到，一个命题对自然科学有价值的条件是：（1）与事实相应；（2）与科学的体系切切相关和（3）与一个不是没有内在意义的题材有联系。而一个命题在技术中有价值的条件是：（1）揭示出一条有效且有创见的操作原则，而（2）这一操作原则在现时的环境中能获得某种实质性的物质利益。与自然科学或技术相比，数学是一种自由得多的创造。虽然数学早期的原始概念和操作无疑起源于经验的暗示，且曾经被用来控制物质性事物的操作运算，但这些经验性和实践性接触并未有效地进入现在人们对它的欣赏之中。
那么，什么是数学？客观主义的“坚强与不可动摇的决心”给了这个问题种种奇怪的答案，因为如果说我们通过把自然科学基于对假定的经验事实的要求上就能够尝试得到它与个人的无关性，技术也能够以实际生活的要求为根据的话，那么，留给数学种种命题的唯一与个人无关的（或至少是看起来与个人无关的）合理解释就是它们没有自相矛盾。数学也相应地被描述为同义反复的集合。
对于这一点，必须首先加以反对：这是假的。同义反复必定是真实的，但数学却不是。我们说不清算术的公理是不是连贯一致的；而如果不是连贯一致的，那么任何特定的算术定理是否有可能是假的。所以，这些定理不是同义反复。它们是而且必须总是试验性的，而一个同义反复则是毫无争议的自明之理。
但是，甚至假定数学是完全连贯一致的，“同义反复”打算支持的一致性标准也还是荒唐可笑地不适用于定义数学。一个人大可以把一台正在随机印刷字母或字模符号的机器视为正在生产将来所有的科学发现、诗歌、法律、讲演、编者按等等的文本，因为就如只有微小的一部分关于事实的真实命题构成了科学，只有微小的一部分可想象的操作原则构成了技术一样，只有微小的一部分被认为连贯一致的命题构成了数学。不求助于把这一微小部分与占压倒性大部分的其他非自相矛盾的命题显著区分开来的原则，数学是不可能得到恰当的定义的。
我们可以尽力补充这一标准，可以把数学定义为按照某些能保证自己自相一致的操作原则从某一公理集得出来的定理的总和，而且，这些公理本身也是相互一致的。但是，这还是不够。首先，因为它完全没有就公理的选择作出过说明，因此，这样的选择显得武断，尽管事实并不是这样；其次，因为被认为得到广泛承认的数学并不是全部都按照严格的程序进行了形式化的；第三，因为——正如K.R.波普尔所指出的——在可以从某一公认的公理集推导出来的命题中，依然还有无数的不那么重要的命题对应着每一个表述重要的数学定理的命题。
所有这些困难只不过是我们拒绝正视若不承认数学最明显的、即它是有趣的这一特征它就不可能得到定义这一点的结果。没有任何领域能像在数学中那样让人如此深刻地感觉到和如此挑剔地欣赏到它的各种层次和各种性质的求知美，而且，只有对数学价值作非形式的欣赏，才能把真实的数学与形式上相似但却是全然琐碎的命题和操作的混杂体区分开来。而且，我们将会看到，数学的这种感情色彩也为人们承认它是真实的添加了证据。数学迷住数学家，迫使他在思维上追求它并赞同它，靠的是它满足了他的求知热情。
较早时我曾说过，我们只有对数学的形式主义作出默会贡献才能理解它。我已经表明数学的所有证明和定理原来发现时是如何依赖于对它们的直觉性预期的；这些发现所确立的结果是如何以它们被直觉地掌握的纲要的形式而被恰当地教授、理解和记忆的；这些结果是如何被通过对它们的直觉性内容的思考而有效地得到一再应用和进一步发展的。我也表明，因此，它们只有得到我们的直觉的认可才能得到我们的合理赞成。我确实已经表明一切言述都有赖于某种默会成分，而这种成分与传达发出言述的人所认可的某种意义的默会成分属同一个种类。而且，我还表明这种领会加肯定的原则与动物生命的能动原则是持续相贯的；人和动物就都是靠这一原则在这一原则的各个层次上，直至内驱力、原动力和感知力的层次上，造就和接受了自己的知识。作为动物， 我们的这些能力都是天赋的。
我们赖以理解和赞同数学的非言述系数的就是这一种类的能动原则。它是一股追求求知美的热情。数学家本人的热情宣布求知美体现了一个普遍真理。正是因为求知美，数学家才觉得不得不承认数学是真实的，尽管他如今被剥夺了对它的逻辑必然性的信念并且注定要永远承认如下可以设想的可能性：它的整个结构会因暴露出一个决定性的自相矛盾点而突然崩溃。而正是同样的体会意义和建立意义的迫切要求支持他默会地跨越了每一个形式证明内部的逻辑鸿沟。
事实上，有大量的证据证明这样的求知热情是数学的肯定所固有的。现代数学是从一长长系列的追求更大的普遍性和严密性的概念革新和更激进的开创出种种全新视角的概念创新中突生出来的。承认这些概念革新是一种自我修正的、追求更真实的求知生活的心灵行为。有一种权威的说法是：“科学上具有最伟大的创造性进展的时刻，常常与通过一个定义而引入新观念的时刻相巧合”。这可能是真实的，只因为接受一个新概念，尽管它只通过一个定义来指定，到底是一项非形式的行为，是我们在形式推理过程中所依赖的框架的转化过程。它是奔向彼岸时对逻辑鸿沟的跨越。到了彼岸，我们就永远再也不会像以前那样看待事物了。所以，就数学是过去概念革新的累积产物这一点来说，我们对数学的肯定同样是一种不可逆的、非形式的行为。
如果这样的一种行为满足了我们的杰出性标准，它就可以被说成是合理的，而为数学家饱含热情的行家绝技所维持的数学求知美就是这样的一条标准。相应地，数学中涉及概念改革的重大进步也被认为是受美的追求引导的。它的地位似乎与它在物理数学中的地位基本相同；求知美被认为是某种隐藏的现实的标志。但是，在诸自然学科中，与现实接触的感觉就像是一种占卜术：它以从未梦想过的未来经验的形式确认了一个迫在眉睫的发现。在数学中，它预示着数学领域本身以内一些范围不定的未来的萌芽。
由于一个数学证明令人信服的能力是通过我们对这一证明的默会理解而起作用的，所以接受一个证明的过程也就可能包含着种种激进的观念革新。“在诸如康托尔关于连续统一的‘不可罗列性’定理这样的‘集论’（Mengen lehre）中存在着种种美丽的定理”，G.H.哈尔迪写道，“一旦掌握了所用的语言，（对它们）作出证明是极为容易的，但是，在定理的意义变得明朗之前有必要作出相当多的解释”。康托尔的证明跨过了一个逻辑鸿沟，只有那些愿意深入研究这些证明的意义并能掌握这一意义的人才能跟随他跨过这一鸿沟。不愿意这样做或无能力这样做就造成了数学家们之间的分裂，就像范特荷甫和考尔贝在不对称碳原子的问题上或巴斯德和李比希在把发酵看成酵母的生机功能的问题上所造成的分裂一样。阿达玛描述了他如何发觉自己与伟大的勒贝格变成了这场争端的对立双方，如何被迫承认相互理解的不可能性。“我们无法避免显而易见的东西——在思维的每一个领域内都具有确信性的最初起点——对于他和我都没有相同意义这一结论”。包含在康托尔的著作中的概念的重大变化，对于在19世纪80年代统治着德国数学的克罗内克来说是如此地令人反感，以致他不许康托尔在所有的德国大学中得到提升，甚至不许他的论文在任何德国的数学刊物上发表。阿达玛承认，在另一个有重大现代发现的领域，群论“虽然最终能够被派上简单的用途，但在掌握比它的相当初级和表面的知识稍多一些的有关它的知识的过程中，他遇到了难以逾越的困难”。众所公认，有些重要的革新在确立时所作的证明绝没有要求具有如此深远影响的概念适应过程。但尽管如此，它们在求知上的杰出性对基本概念的巩固作出了贡献，而它们的成功也正是以这些基本概念为基础的。
