深入浅出的卷积神经网络介绍

罗光宣

卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是深度学习里处理图像最常用的一类网络。它的核心想法并不玄：用一个很小的“滑动窗口”（卷积核）在图像上逐块扫描，对每个局部区域做加权求和，得到一张新的特征图。重复这一过程、再配合池化与非线性激活，网络就能从像素里逐步抽出边缘、纹理、部件，直到物体类别。

本文用一个具体的数值例子，把卷积到底怎么算、为什么这样设计，讲清楚。

1. 为什么需要卷积？

全连接网络把图像拉成一长串向量再做矩阵乘法。一张  的灰度图就有  个像素；若隐层有  个神经元，仅这一层就要约  万个参数。换成  的彩色图，参数量会暴涨到难以训练。

图像还有两个关键性质，全连接并没有利用：

·局部性：边缘、角点等模式只出现在小邻域里，远处像素通常暂时无关。

·平移不变性：猫耳朵出现在左上角或右下角，本质是同一类局部模式，应当用同一套权重去识别。

卷积恰好对应这两点：局部连接（每个输出只看一小块输入）和权值共享（同一卷积核扫完整张图）。

上图是常见流水线：卷积提取特征 → 激活引入非线性 → 池化缩小空间尺寸并增强稳健性 → 最后用全连接（或全局池化）做分类。

左：每个输出位置只连接  邻域。右：整张图共用同一组权重，参数量只取决于核的大小，与图像分辨率解耦。

2. 卷积在算什么？一个完整数值例子

下面用一张  的“图像” 和一个  卷积核 ，手算一遍。数字刻意取得简单，方便跟图对照。

2.1 输入与卷积核

 是经典的竖直边缘检测核：左边为正、右边为负。若某块区域左侧亮、右侧暗，加权和偏正；反之偏负；左右差不多则接近 。

2.2 单步：一个输出值如何得到

采用有效卷积（valid / no padding）：核完全落在图像内才算一次。核大小为 ，输入为 ，输出特征图大小为

先看左上角那一步。取出  左上  子块 ，与 逐元素相乘再全部相加（这就是离散二维卷积在深度学习里常用的实现；严格数学上的卷积还会翻转核，深度学习框架里实际做的是互相关，习惯上仍叫卷积）：

可以把这一步想成：用核给局部  个像素打分，分数高说明“更像核所编码的模式”。

2.3 滑窗扫完整张图

核每次向右或向下移动一格（步长 stride ），对每一个合法位置重复同样的乘加。全部结果组成特征图 ：

再验算两个位置，确认算法无误。

右上角 （子块取自  的第 – 行、第 – 列）：

底部中间 ：

 表示该局部“左侧相对暗、右侧相对亮”的程度更强，与竖直边缘核的符号约定一致。

一般公式（单通道、无偏置、stride 、无 padding）可写成：

若还有偏置 ，则每个位置再加同一 ：。

3. 填充、步长与输出尺寸

实践中很少永远用 valid 卷积，因为每层都会缩小特征图，边缘信息也容易丢失。

3.1 填充（Padding）

在输入四周补 （或其他值），让核可以对准原来的边界像素。若四周各补  圈，输入从  变成 。

3.2 步长（Stride）

核每次移动的格数。stride  时大约隔一格算一次，特征图更小，计算量更低。

输出高宽的通用公式为：

例如  时：

输出与输入同尺寸，常称为 same padding。

4. 池化：缩小地图，保留要点

卷积之后常接池化（pooling）。最常见的是  最大池化（max pooling）：每个  窗口只保留最大值，再以 stride  滑动。

对上一节的特征图做示意（为演示方便，先把  扩成示意矩阵；原理相同）：

四个窗口的最大值分别是 、、、。

池化的作用主要有三点：

1.降采样：空间尺寸减半，后续计算更省。

2.平移稳健：目标挪动一两个像素，最大值往往仍落在同一池化窗内。

3.突出强响应：最大池化保留“最像某模式”的位置，弱响应被丢掉。

也有平均池化（取均值），现代网络里有时用全局平均池化直接接到分类头。

5. 激活函数：引入非线性

若只有卷积和池化，整张网络仍近似线性变换的堆叠，表达能力有限。因此在卷积后通常接 ReLU：

负响应被截断为 ，正响应原样通过。例如对

直觉上：卷积给出“像不像某种模式”的打分；ReLU 丢掉“明确不像”的负分，只把正向证据往下一层传。

6. 多通道：彩色图与多个卷积核

真实图像常有 RGB 三个通道；一层卷积也会输出多个特征图（多个核）。此时卷积核是三维的。

设输入有  个通道，某个输出通道对应的核形状为 。对每个输入通道分别做二维卷积，再把各通道的结果相加，得到该输出通道的一张特征图：

若一层有  个这样的核，就得到  张输出特征图。参数量为

（最后一项是每个输出通道一个偏置）。

举例：输入 ，用  个  核、same padding、stride ，输出为 。每个输出位置仍只看  个数，却共享整张图的权重。

7. 层叠起来：CNN 在学什么？

把“卷积 → ReLU →（可选）池化”重复多次，感受野（receptive field）逐层变大：浅层看边缘与颜色斑块，中层看纹理与部件，深层看接近物体级的组合。最后把空间特征压成向量，接全连接或全局池化做分类。

训练时用反向传播更新所有核的权重：网络自动学会“该检测什么样的局部模式”，而不是手写边缘核。前文的竖直边缘核只是为了说明计算；真实 CNN 里的  是数据驱动学出来的。

8. 用代码验证刚才的手算（可选）

下面这段 NumPy 与本文手算一致（valid 卷积、无翻转）：

import numpy as np 

X = np.array([ 
    [1, 0, 1, 1, 0], 
    [0, 1, 1, 0, 1], 
    [1, 1, 0, 1, 0], 
    [0, 0, 1, 1, 1], 
    [1, 0, 0, 1, 0], 
], dtype=float) 

K = np.array([ 
    [1, 0, -1], 
    [1, 0, -1], 
    [1, 0, -1], 
], dtype=float) 

H, W = X.shape 
kh, kw = K.shape 
Y = np.zeros((H - kh +1, W - kw +1)) 
for u inrange(Y.shape[0]): 
    for v inrange(Y.shape[1]): 
        Y[u, v] = np.sum(X[u:u+kh, v:v+kw] * K) 

print(Y) 
# [[ 0.  0.  1.] 
#  [-1.  0.  0.] 
#  [ 1. -2.  0.]]

在 PyTorch 中，同一计算可用 torch.nn.functional.conv2d（注意输入形状为 (N,C,H,W)）得到相同结果。

9. 要点回顾

抓住“局部乘加 + 滑窗共享”这一条线，再往上叠加激活、池化与多层结构，卷积神经网络的计算与设计逻辑就会清晰起来。后续阅读经典结构（LeNet、AlexNet、VGG、ResNet）时，会发现它们都是在这一骨架上调整深度、连接方式与训练技巧。