基于神经网络的偏微分方程求解方法43篇论文秒速求解PDEs！基于神经网络求解偏微分方程新SOTA！

近期我们针对基于神经网络的偏微分方程求解方法43篇论文的前沿成果进行了深度整合，从中筛选出43篇很有参考价值的论文，并配套整理了开源代码实现。

这些论文基本覆盖了当前主流方法与技术瓶颈，特别适合正在准备论文的朋友，无论你是想找创新突破口、设计课题方案，还是想复现经典模型，都能提供实质性帮助。

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VW-PINNs: A volume weighting method for PDE residuals in 

physics-informed neural networks

内容：

本文针对传统物理信息神经网络PINN在非均匀配置点采样下偏微分方程损失存在病态问题，高密度采样区域残差主导训练、低密度区域残差难以收敛甚至求解失败的现象，提出体积加权物理信息神经网络VW‑PINNs，利用配置点在计算域内占据的体积对偏微分方程残差进行加权，将配置点空间分布特征显式融入残差评估，并结合核密度估计开发适配无网格场景的体积近似算法，以此平衡不同采样密度区域的残差收敛差异；通过圆柱绕流、NACA0012翼型绕流、Burgers方程等多个正、反问题开展验证，该方法能够解决传统PINN失效的流体算例，还可将现有自适应采样方法求解效率提升3倍，在反问题上把相对误差降低一个数量级，但该方法在高雷诺数、可压缩翼型流动场景仍存在局限，有待后续进一步优化。

A Least-Squares-Based Neural Network (LS-Net) for Solving

Linear Parametric PDEs

内容：

本文提出用于求解线性参数偏微分方程的LS‑Net方法，该方法采用分离表达形式，由单个深度神经网络输出一组向量函数作为解空间的基函数，再针对每个参数利用最小二乘求解器求取最优组合系数，可结合PINN强形式残差或DFR弱形式残差构建二次损失，文中给出类似通用逼近定理的理论结论，证明存在足够规模网络能够按指定精度逼近参数PDE的解，该方法具备离散不变性，但处理新参数需要求解最小二乘系统带来一定计算开销，可通过参数化构造最小二乘系统缓解该问题；通过阻尼谐振子、一维亥姆霍兹方程、二维传输问题三个数值算例验证了LS‑Net的逼近能力，还借助适配正则性的网络模块处理解存在导数间断的场景，实验结果显示该方法误差显著降低且未出现明显过拟合，文章同时指出该方法目前局限于线性问题，未来可借鉴牛顿类线性化思路向非线性参数偏微分方程拓展。

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Stochastic Quadrature Rules for Solving PDEs using Neural Networks

内容：

Deeplearning-basednumericalmethodsfor high-dimensionalparabolicpartialdifferentialequations andbackwardstochasticdifferentialequations

内容：

本文借助非线性Feynman‑Kac公式将高维抛物型偏微分方程等价转化为倒向随机微分方程BSDE，把BSDE类比为模型强化学习问题，将PDE解的梯度视作策略函数，利用深度神经网络对该策略函数进行逼近，构造出Deep‑BSDE求解器，对BSDE做时间向前离散，以终端条件的平方误差构造损失，借助SGD、Adam等随机优化算法训练网络，只学习各时间步的梯度而递归计算PDE解本身；作者在TensorFlow上实现算法，对100维Allen‑Cahn方程、Hamilton‑Jacobi‑Bellman方程、金融衍生品定价问题、Burgers型方程等多个算例开展数值测试，结果表明该方法能够有效应对维数灾难，可在数百维非线性抛物PDE上取得较低的相对误差，文中还给出Python与Matlab参考代码，同时该方法也存在局限，求解性能依赖网络结构、超参数与迭代步数，高维场景下训练计算开销较大。

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