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OpenAI 破解纳维–斯托克斯方程百年难题
纳维–斯托克斯（Navier-Stokes）方程诞生于 19 世纪，用于描述水、空气等流体的运动规律，涵盖飞机气流、海水运动及血液流动等场景。然而，针对三维不可压缩流体，学界长期存在一个核心疑问：若流体初始运动平滑，这种平滑性能否永远保持？抑或在有限时间内，某区域会出现无限剧烈的变化，导致方程失去数学解？
图示：飞机尾流中的混沌涡旋可能增加空气动力学阻力。
这是克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）2000 年公布的七大「千禧年大奖难题」之一，奖金高达 100 万美元。该问题要求证明三维纳维–斯托克斯方程始终保持光滑，或构造出会在有限时间内破裂的解。
9 月 8 日，OpenAI 公布了一套由其内部 AI 系统生成的解析证明和 Lean 形式化证明，成功构造了一个在有限时间内形成奇点的解。9 月 11 日，克雷数学研究所表示这项工作「看起来已经解决」了该问题。但依据大奖规则，论文仍需经过严格的同行评审和长期检验，目前尚未正式宣布奖金归属。
数学奇点与物理现实的界限
纳维–斯托克斯方程在特定条件下无法完全模拟现实。千禧年问题聚焦于不可压缩流体，这能很好地描述水等液体；而对于可压缩流体，研究者早已知晓其奇点对应版本的方程。
在 OpenAI 的构造中，旋涡不断向内旋转并被拉伸得越来越细长。核心区域持续收缩，流体速度不断增加，最终在有限时间内形成奇点，但整个过程中流体能量保持有限。
图 2：局部不可压缩流体的一个瞬时状态。
应用数学家 George Karniadakis 估算，对于空气而言，奇点出现时旋涡核心的宽度仅约 70 纳米，已接近空气分子的平均自由程。纳维–斯托克斯方程将流体视为连续介质，不追踪单个分子，而是将大量分子的整体行为压缩为速度、压力、密度等连续场。当结构尺度缩小至分子级别时，这种近似不再可靠。
因此，数学上的「奇点」并不等同于现实中的「无限速度」。这一结果揭示了连续介质理论在极端尺度下可能出现的数学破裂，真实物理系统需采用其他描述方式，如从分子统计行为出发的 Boltzmann 方程，或计算成本极高的分子动力学模拟。Nature 指出，2024 年超级计算机曾模拟约 1550 亿个水分子，但其体系仅相当于微米尺度的一个小立方体。
AI 赋能多尺度流体计算
在大部分工程和自然尺度的流体问题中，无需追踪单个分子。传统计算方法常采用「triple decker」思路：在大尺度使用纳维–斯托克斯方程，在小尺度使用分子动力学，并通过中间层模型连接两者。
AI 正介入这一多尺度计算中最困难的部分。近年来的流体研究开始利用神经算子学习流体方程的长期演化，用机器学习建立湍流闭合模型，甚至将神经网络嵌入传统 CFD 求解器。此举并非取代物理方程，而是让模型学习传统方程难以解析的复杂尺度信息，从而减少昂贵的数值计算。
DeepMind 等机构的研究人员利用 AI 基于观测数据建模天气系统行为，无需明确求解支配物理的方程，体现了其在混沌动力学中的应用潜力。
这表明 AI 参与复杂数学和物理问题的方式正在转变：它承担起大量搜索、试算和方案比较的工作，而人类研究者则专注于判断结构的物理意义、结果的严格证明以及数学结论与现实世界的对应关系。