「AI不可能对最尖端的数学家有任何影响」……吗？
曾持此观点的菲尔兹奖得主丘成桐，如今已利用AI辅助攻克了其44年前提出的数学难题。
在最新发表的论文致谢中，丘成桐及其合作者明确感谢了GPT-6 Astra和Claude Pro在探索证明思路及计算方面提供的帮助。
该研究聚焦于微分几何中的经典猜想：七维空间中的27种「怪球」（Exotic Spheres）是否具备像标准球面那样的处处正截面曲率。这一问题自1956年发现怪球以来，悬而未决长达70年。
目前，这篇由AI辅助完成的论文宣称已给出肯定答案。
七维空间的27种「怪球」
1956年，美国数学家米尔诺（John Milnor）构造出一种拓扑结构与标准七维球面相同、但光滑结构不同的对象，即「怪球」。这一发现为他赢得了菲尔兹奖。
随后，科维尔（Kervaire）和米尔诺证明，七维空间中共有28种此类光滑球面，构成代数结构Θ₇ ≅ Z/28Z。其中1种为标准球面，其余27种为怪球。
标准球面的显著特征是其「截面曲率」处处为正，即表面各角度均向内弯曲。数学家长期探究：其余27种怪球是否也能具备此性质？
1974年，格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）率先在一个怪球上构造出「非负曲率」度量。2020年，格特（Goette）等人将这一结果推广至全部28种球面，证明它们均能配备非负曲率度量。
然而，从「非负」到「严格正」的跨越极具挑战性。2008年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）曾声称取得突破，但其证明未通过同行评审。
丘成桐参与的最新研究宣称填补了这一空白，证明所有28种七维球面均可配备严格正截面曲率度量。若获学界认可，这一历时半世纪的问题将彻底解决。
两块圆盘，一道接缝
实现「正曲率」的难点在于布伦德尔-舍恩微分球定理的限制：若流形上的正曲率过于均匀（最大与最小曲率之比不超过4），则该流形必与标准球面光滑等价。因此，怪球的正曲率构造空间极为狭窄。
双圆盘模型与高维投影
论文采用杜兰等人提出的「双圆盘模型」，将每种七维球面视为两个七维圆盘沿边界粘合而成。核心任务是在每个圆盘上构建处处向内弯的度量，并确保接缝处完美匹配。
△AI生成
为简化构造，作者将问题提升至十维空间：以三维球面S³为纤维，构建主丛。利用「黎曼淹没」技术，将十维空间的度量投影至七维圆盘。
借助「奥尼尔公式」，投影后的曲率只会增大或保持不变。因此，只需在十维空间中实现正曲率即可。关键技巧是将三维纤维半径极小化，利用其巨大的自身曲率抵消其他方向潜在的负曲率贡献。
边界拼接与计算机验证
由于南北圆盘的构造方法不对称（南盘采用弯曲底盘，北盘采用扁平乘积联络），边界对接需满足严格条件：边界诱导度量一致，且两侧第二基本形式之和在各方向上严格为正。
△AI生成
通过建立统一坐标系，作者证明纤维半径导数在拼接时相互抵消，而角向部分贡献严格为正。依据赖泽和雷斯的拼接定理，整个球面存在光滑正曲率度量。
鉴于构造涉及大量复杂的不等式估计，论文附带了SageMath验证代码，以确保证明的可信度。
丘成桐与AI这三年
丘成桐对AI的态度经历了显著转变：
- 2023年4月：认为AI仅能融会贯通现有资料，难以对尖端数学产生实质影响。
- 2024年4月：态度软化，承认AI对数学发展有益，但仍坚持其无法改变数学本质。
- 2026年：观点进一步开放。年初指出AI提升科研效率；年中认为AI可解决特定类型问题；7月建议学生尽早学习使用AI工具辅助文献检索与总结。
此次论文致谢标志着丘成桐正式将AI纳入研究流程。尽管他强调人工验证与写作责任仍由作者承担，但这与此前「毫无影响」的论断形成鲜明对比。
目前，顶尖数学家群体对AI的关注度日益提升。陶哲轩较早将AI作为「研究助理」用于代码生成与形式化验证。但他与邓煜等25位菲尔兹奖得主联合声明，警告业界不应将解题能力作为衡量AI价值的唯一基准，以免偏离数学追求概念理解与洞见的核心目标。
丘成桐亦持相似观点。他在近期表示，AI虽能汇集知识、推动常规工作，但可能导致研究者因易于获得答案而忽视更深层的问题。他认为，AI无法替代人类独有的原创思维与灵感。
这反映了学界共同的关切：在AI解题能力日益增强的背景下，数学家应更专注于探索那些AI尚无法触及的基础性问题。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2609.29426