菲尔兹奖之后，我们和邓煜合作者聊了聊 AI 与数学

人工智能与科研

前面写的是人类数学家所能到达的最高处。接下来，我想回到开头提到的另一件事：AI 数学家们现在是什么水平。过去一年里，我把相当一部分精力投入到智能体开发中，也把自己关心的数学问题当作这些自动研究系统的测试集。下面我讲一讲我自己对 ai 的理解，这些理解不止对数学领域成立，对于大部分科研都是成立的。

AI 现在到底是什么水平？

我的总判断是：AI 参与数学研究已经是大势所趋。 从 GPT 5.4 这一代开始，AI 跨过了临界值，它的能力已经可以辅助数学家做前沿研究、产生数学想法、乃至参与完成论文。但同时，现在仍是它们能力剧烈波动的过渡期：它的上限很高，有时能解决菲尔兹奖获得者思考多年而未解决的问题；下限也很低，会陷入幼稚的、漫无目的的尝试，包括且不限于卡死在一个例子里面出不来、不停地把定理换种方式叙述、因为一点小问题而否定自己的正确思路。

为了具体说清楚的能力，我觉得有必要先把「难度」本身分个档。大致可以分四档：

日常发表论文——博士生论文、平时大家发表的科研论文；

个人代表作——足以定义一个数学家学术身份、支撑一个大学教职的那种结果；

四大期刊论文——Annals of Mathematics、Inventiones、JAMS、Acta Mathematica，以及其他相同档次期刊上的工作；

菲尔兹奖得主拿奖的工作——包括千禧年难题在内，最顶尖的一档。

按我自己的使用经验，对第一档，AI 目前大概有四分之一到三分之一的成功率能做出来。解体的过程中通常还需要人稍微操作一下，要么是纠正一下它明显开始犯傻的情况，要么是由人提供一部分想法。对第二、三档，也就是个人代表作乃至四大期刊论文这个层级的难度，已经能看到少数成功案例，但是成功率极低、必须是尝试大量问题与不同思路。对第四档——千禧年难题、菲尔兹奖级别的最高一档——据我所知还没有真正解决的案例。

AI 的不稳定发挥带来一个很现实的现象：如果问题恰好落在 AI 的能力范围内，它可以把原本需要几个月的工作压缩到一两天；但如果问题不在范围内，使用者可能先花几周和它反复交互，最后还是要自己动手，很多时候反而浪费了更多时间。

单位距离猜想是目前我目前看到过的 AI 做出来的最强的结果。这个结果漂亮、重要，展示了真实的跨学科创造力——我能用公开模型复现构造，说明这种能力并不只存在于封闭的内部系统里。但坦率地说，这个证明虽然跨越多个领域，关键的跳跃其实只有很少的几个，篇幅也不长；它的思维结构更像一道工具极深、转化极难的顶级 IMO 竞赛题，而不是几十页、上百页连续推进的现代大定理。

AI 是怎样学会数学的？

这一节是整篇文章里我认为最重要的部分。网络上对 AI 的各种判断——无论是恐慌还是不屑——很多时候都是一些基于当时 AI 表现的简单推演，而不是从基本原理出发的深刻分析。

在我看来，科学研究可以理解为一个多步决策过程。以数学研究为例：证明一个命题，通常是把目标拆成子目标，再逐步解决；每一步不仅需要逻辑，也需要知识积累、对理论的熟悉程度和模式识别。

预训练让模型学会「下一步怎么走」。 模型从教科书、论坛问答、已有的证明以及生成数据中学习：给定一个证明的前半段，预测下一步最可能是什么。经过预训练的模型未必能一口气写完整个证明，但它可能以相当高的概率做好每一个单步决策。

强化学习把单步能力连接成多步能力。 让模型通过搜索尝试不同的路径，对成功走通的路径给予奖励，从而提高连续走对很多步的概率。当然，如何给「局部正确、整体错误」的尝试分配奖励，至今仍是复杂的工程问题。

一旦从这个角度理解 AI，判断「ai 能做什么」的方式就会完全改变。不要沿用人类的浅层的分类方式来思考它是更擅长证明、计算还是提出问题，而应该问三个问题：

• 解决这个问题所需的每一步，是否在训练数据中出现过，模型是否会做？。是否存在训练数据中从未出现、模型也无法泛化出来的「神来之笔」？

• 模型是否知道如何把问题拆解成能做的小步。

• 模型是否能组合它每一步的能力完成整个任务。

我下面介绍一些例子来说明我们如何用这个框架来分析很多常见的问题。

先用这些原理分析一些旧时代陈词烂调：

「AI 有幻觉，会一本正经地胡说八道。」

 一个常见的论证是：AI 本质上只是一个概率模型、一个下一词元预测器，所以它必然会编造，这是架构决定的、无法根除的缺陷。这个论证其实站不住脚。人类的记忆和判断某种意义上也是概率性的——人也会记错、编造细节——但没有人会说「人类的幻觉无法解决」，因为人类有一套核查机制来压制错误：回忆时拿自己已知的记忆去比对，写东西时去查文献、找 reference。这套机制之所以有效，是因为「提取一个说法、找到对应的参照、判断两者是否一致」本身只是一两步的决策，并不需要长链条的规划——按照前面的框架，这正是 AI 最擅长的那类任务。所以至少对于事实性的幻觉来说，这是一个可以被训练出来的核查能力；至少在允许查证的场景下，这个问题已经在很大程度上被解决，现在也很少再有人抱怨事实性的幻觉问题。

「AI 不会思考，只是在做词语接龙。」

这个问题在我们的框架下其实已经不成立了。前面说过，做研究本质上是一个多步决策过程：识别当前状态、拆解出下一步该做什么、执行，再进入下一个状态。人类所谓的「思考」，说到底也是这样一步步走下来的过程，而不是什么无法拆解的、神秘的东西。既然思考可以被还原成「识别状态、决定下一步」这样的多步决策链条，那么人类留下的推导、论证、试错记录，本质上就是这条决策链条被写下来的样子。模型在预训练里学的，正是模仿这些已经存在的「下一步该怎么走」：给定前半段推导，预测最可能的下一步。也就是说，AI 不需要凭空发明一种额外的」思考能力」，它只需要把人类反复走过的这条多步决策路径学会、内化，再在新问题上把它重放、拼接出来。

我们在来分析一些新时代的谣言：

「AI 不擅长提出好的问题、无法拥有人类的审美。」

 提出一个好猜想，往往只是一次单步或少步的判断——发现一个类比、注意到一个反常的例子、把两个领域的对象联系起来——而不像完整证明那样需要成百上千步连续执行都不出错；按这个标准，提问反而可能比写出完整证明更容易，而不是更难。审美也是类似的情况：数学品味很多时候也是一种单步判断——这个证明干不干净、这个反例是否揭示了深层结构。目前 AI 在审美上的确显得迟钝，但这更可能是因为训练材料里缺乏系统标注」什么是好问题、好证明」的数据，而不是审美本身超出了它的能力边界。只要有合适的基准和数据，AI 应该能学到数学共同体大致的共识；至于超出共识的部分，审美本来就高度个人化，AI 完全可能形成自己的判断，就像不同数学家品味也不尽相同。我不太相信很多人构想中的」人类负责提问和审美、AI 负责回答和证明」这种分工会长期存在。

「它只会做竞赛题，做不了真正的研究。」 

这个说法把竞赛和研究当成两个体裁上的差异，但按照前面的框架，真正的差异其实是步数：训练数据里，短链条、几步之内就能走对的例子远比长链条、几十步上百步不能有任何一步出错的例子多得多——步数越长，能找到的、完整走对的训练轨迹在组合上就越稀少。竞赛题恰好大多是短链条问题，这正是 AI 目前表现得最稳的一类，并不是因为它天生只适合竞赛这个体裁。当强化学习把它能连续走对的步数从几步推到几十步、上百步，它自然会突破「只会竞赛题」的边界——这也正是前面讲过的、从日常论文到菲尔兹奖级别工作之间，AI 一步步往上突破的过程。

AI 无法自我验证。

这个说法也可以用同样的框架拆穿：判断「某一步是否正确」，本身通常只是一次单步或少步的局部判断，并不需要走完整条证明链条——这和前面说的找 reference 核对是同一类任务，也正是 AI 最擅长的。真正难的不是「某一步对不对」，而是把成百上千个这样的局部判断串联起来、还要知道该在哪一步反过来推翻之前的路线；这是执行和规划层面的困难，而不是验证能力本身的缺失。

我们也可以来分析很多目前现在 AI 的长处和缺陷。

AI 具有很强的跨学科能力。 以前数学家最推崇的一类结果，就是发现两个原本被认为无关的领域之间存在联系——而这恰好是 AI 很擅长的事情。经常发生的场景是：AI 忽然想到一个连接，是这个领域的专家从未想到、甚至看到以后依然意识不到的。

为什么 AI 的突破常常出现在跨学科问题上？我认为有三个原因。

第一，AI 读过几乎所有领域的材料，可以快速调用和重组知识。人类研究者受专业边界限制——很少有人会为了一个组合数学问题专门去学很深的代数数论；AI 没有同样高的跨领域学习成本。

第二，人类可能已经分别造好了一个大问题所需的各个部件，却因为理论太复杂、每个人只掌握一部分，没有意识到这些部件已经足以拼出答案。AI 的广度和远高于单个人的尝试量，使它可能偶然把这些部分连接起来。

第三，已经出现的典型模式是：AI 不沿该领域专家长期使用的路线继续推进，而是调用另一个领域的工具，从一个专家不熟悉的方向迅速突破。比如单位距离猜想的反例中，AI 使用了很深的代数数论工具来构造反例。

AI 的上下限为什么差距这么大？ 

能解决单位距离猜想，但是却解决不了很多博士生的日常科研问题。单位距离猜想的证明只有六七个关键跳跃，每一跳所用的工具都在文献中出现过——这正是 AI 最擅长的形态。中间不需要管理项目状态，不需要太多次执行成功，完全是自然语言的 next token prediction。而一个需要成百上千步连续正确、中途没有人纠偏的百页大定理，它现在还做不了。

AI 当前的短板也很清楚，而且大多不在「智力」上，而在「执行」上 —— 归根结底，是因为长程执行的训练数据非常稀少。这个短板体现在好几个层面：

第一，规划跟不上。它能做好一个大项目里的许多局部步骤，却不擅长决定如何拆分项目、何时停下来总结、何时放弃当前路径改换方向——这是比「单步怎么做」更高一层的决策，恰恰也是训练数据里最稀缺的部分。

第二，智能体层面的动作能力落后于语言能力。调用工具、管理中间状态、组织复杂流程，这些「动手」的能力，和成熟研究者甚至入门博士生相比有明显差距。

第三，有方向时反而帮不上忙。当数学家已经想清楚正确的路线、真正困难只剩下把大量细节严谨地填补齐时，AI 反而常常派不上用场——所以在专家最熟悉的领域，它通常很难沿着专家的路线反超专家。

第四，解释能力落后于解题能力。 它有时候已经找到了有效的路线，却无法在第一轮把想法讲清楚，需要人反复追问才能把思路挖出来。

第五，更麻烦的是它逃避失败的方式。 当它解决不了问题又被要求继续时，会用一种貌似在前进、实则原地打转的方式来掩盖失败——不断把原问题改写成等价但更困难的问题，最后生成一大段连它自己也未必能把握的长文本。

这些具体的执行问题基本上都是因为自然语言缺乏大量决策样本，这些都需要强化学习的搜索与强化搜出来。

AI 真正根本的问题

之前姚顺宇曾经提到过，自然语言的各个任务已经都没有学术问题了。

我觉得他说的非常有道理。纯自然语言任务绝大部分已经结束，因为总是可以以某种方式约化到 next token prediction. 但是从我的角度来讲，还是有两个很重要的问题。

一个是 AI 如何真正像人类一样学习，还有一个更根本的问题：AI 和人究竟有哪些差别？常见的说法是「AI 只是统计，人类才真正理解」。我对这个持怀疑态度：人和 AI 都在识别当前状态、拆解问题、决定下一步；人类寻找答案的过程，本身也包含大量统计和模式匹配。在「思考的行为结构」这个层面上，两者可能没有本质区别。真正的差异更可能在学习方式上——当前模型依靠海量数据、下一词元预测、梯度下降和强化学习，而人类表现出强得多的运行时学习、主动学习和样本效率：我们可以在解题的过程中现学现用一个新工具，模型目前很难做到。让模型真正获得类似人的运行时学习能力，可能是接下来 AI 研究最重要的前沿之一。

第二个根本问题，是很多任务本身就无法被约化成 reward 或者标签学习。强化学习和监督学习共享一个前提：存在某种可以打分、可以判断对错的信号——无论这个信号来自人工标注、自动验证，还是某种可以量化的 reward。竞赛数学和可以跑测试的代码之所以适合 AI 训练，正是因为它们天然带有这种信号：答案对不对、代码能不能通过测试，一目了然。但研究里的很多环节，从根子上就不具备这种结构——比如判断一个问题是否值得研究、一个证明是否真正抓住了问题的本质，这些判断本身没有客观、可自动化的标签或分数，甚至专家之间也常常无法达成一致。这不是」reward 函数设计得不够好」这种工程问题，而是这类任务从原理上就跟」用打分来学习」这个框架不兼容。

真正决定未来的，不只是模型会不会偶尔灵光一现，而是智能体能否持续地规划、执行、验证和解释。对于长程任务来说，存在难以打分、判断中间结果对错的步骤的出现是必然事件。如果这些问题都可以被解决，使得智能体稳定完成的证明从 10 页增长到 30 页，再到 100 页，那就不是局部的效率提升，而是数学研究格局的重塑，它能力覆盖的数学范围可能超过任何单个数学家，甚至超过整个数学共同体能同时覆盖的范围——届时可能重演围棋式的故事。我在不同场合给过一些激进的时间预测（比如百页级能力最早可能在一两年内出现），但那些只是基于当时发展速度的判断，不应当作确定的时间表；而且要达到「全人类数学能力的总和」，仅仅解决智能体的工程问题可能还不够，AI 还需要在记忆、测试时学习和样本效率上接近人类。

挑战与机遇并存的时代

现在看来数学这个学科、以及数学共同体本身，都正在被 AI 被推着往前走。这带来一系列真实的挑战，也带来同样真实的机遇。下面我从几个角度分别展开。

数学一定无处不在

即使在相对保守的那种未来里——AI 只是「更聪明的人」——数学的格局也会大变。传统意义上的专职「纯粹」数学家可能减少：一部分人会转向整理文献和训练材料，另一部分人会凭借对数学语言的掌握，去开拓数学在科学、工程和 AI 中的新应用。

但数学本身的应用会极大扩张。

当 AI 让证明、数学知识和数学表达的成本大幅下降，更多人将能调用以前只有专家才会用的数学。举一个我自己工程实践里的例子：用数学语言描述软件的底层结构和不变量，可以明显减少人和 AI 之间的歧义——先把设计要求写成精确的数学约束，再让 AI 生成满足约束的算法和代码，比用大量自然语言例子反复解释有效得多。数学作为最精确的语言，会在 AI 时代获得全新的应用面。

挑战一：数学与「抽卡数学」

我想专门讲一个正在我现在能够看到的有点荒诞的研究形态，我把它叫「抽卡数学」。

正常的人机协作是：人理解问题、提出思路，AI 帮忙执行。「抽卡」不一样：把一个自己并不真正理解的问题直接交给 AI，让它自主运行，最后只检查结果对不对。

为什么会出现这种形态？因为对高难问题，AI 沿着专家已经理解的思路推进，往往因为执行力弱而失败；很多时候它成功是因为它找到了专家完全不熟悉的跨学科路线。于是使用者会形成一种奇怪的策略：主动排除「自己看得懂但大概率无用」的答案，专门保留「看不懂但可能新颖」的答案，事后再去学习其中的工具。在这种方式下，只能放弃掉对中间过程的理解，把思考完全交给 AI。这种方式成功率可能很低，几十次未必成一次；但一旦成功，成果的层级可能很高。研究者因此从「理解并掌控数学」变成了「测试 AI 系统」——说实话，在抽卡的时候，我经常觉得我和一个民科没有什么区别。

哪些问题容易被「抽卡」，其实和问题本身的难度分档没有直接关系，而是取决于它有没有一个足够简单的机制——一旦被想到，整个问题就会随之大幅接近解决。目前看来「抽卡数学」所能覆盖的数学定理之高，远超我们的想象，庞加莱猜想在某种意义上就是这样一个例子：一旦有了 Perelman 的熵函数这套工具，剩下的证明虽然依然艰深，但已经变成了一项可以按部就班推进的工作；而我并不认为，找到这样一个公式，一定超出了现在 AI 的能力。往未来看，我觉得 Hodge 猜想、Navier–Stokes 方程的适定性这类千禧年难题，也可能存在类似的机制——一旦被找到，问题会突然从「几代人啃不动」变成「能够被系统性推进」。这正是「抽卡」最有可能命中的那类问题：真正的困难不在于把一条已知思路的细节严谨地走完，而在于有没有人（或 AI）偶然撞见那个还没被任何人找到的关键机制——而这恰好是 AI 广度和试错量最有优势的地方。

我想强调：「抽卡数学」更像当前能力缺陷造成的过渡形态，而不是理想的未来。它之所以存在，是因为 AI 沿专家熟悉的路线还赢不了专家、只能靠陌生路线创造优势、又不能充分解释自己的想法。如果未来执行和解释能力上来了，AI 能在专家熟悉的领域提出专家也认可的新见解，数学研究就会从「抽卡」重新回到可理解、可讨论的主流形态，AI 成为每个人的强合作者。

挑战二：智商逻辑与坚持逻辑的崩坏

数学界当前有一套明显的「智商逻辑」或者坚持逻辑：做出别人做不出的东西，被视为证明自己更聪明，或者更能坚持。菲尔兹奖在某种意义上正是这套逻辑的顶点。当 AI 稳定达到大多数数学家的水平时，这套价值逻辑会崩塌——数学证明的「优美」也一样，它并不是人类专属的护城河。长年死磕单一大问题的方式可能受到冲击：当一个不懂该领域的人也有非零的概率借 AI 「抽」出结果时，研究者会更难承受多年押注一个问题的风险。数学研究可能变得更像应用数学：同时关注许多问题、快速测试、减少长期押注。另一方面，个人的能力和学科跨度会大幅提升——研究者可以借 AI 进入原本不熟悉的领域，边探索边学习，去尝试跨学科的大问题。

我认为更可持续的是「应用逻辑」：不在意问题究竟由人还是 AI 解出，而在意提出的问题是否重要、最后是否做出了有用、漂亮的成果。AI 能完成的部分，就当作计算器的能力；人继续去寻找下一个值得解决的问题。所以这个挑战对每个人的分量并不相同：如果做数学只是为了证明智商，AI 超过人会造成强烈的压力；如果目标是完成有用、漂亮的工作，AI 帮你做出更好的工作，反而值得高兴。

挑战三：论文爆炸与审稿

AI 会增加论文数量，但未必无限爆炸——计算和智能体运行仍有成本，我的估计是可能增长十倍，而不一定是百倍、千倍。

传统期刊也未必消失。可以用 AI 初筛掉绝大多数稿件，只把少量重要且可信的交给人审阅；对宣称解决大问题的投稿，可以结合作者信誉机制——曾经虚假声称解决大问题的人，以后接受更严格的筛查。前面说过，AI 的证明能力和验证能力是同步增强的，用 AI 筛 AI 的论文是可行的。

形式化验证在这里有它不可替代的位置，但要分清两个不同的问题。对善意提交、结构清楚的证明，我的经验是干净上下文里的 AI 验证已经很可靠；而对刻意设计来欺骗模型的恶意论文，形式化验证才是真正的防线。形式化很重要，但它的必要性不应该建立在「AI 必然不理解自己写的证明、必然把错的证成对的」这种假设上。

挑战四：credit 分配与重要性评价

AI 参与之后，学术贡献怎么算？我的立场是：只要作者以某种方式解决了重要问题，成果就应计入作者的贡献；偶然试验或 AI 辅助并不自动取消贡献，正如实验科学也承认偶然的发现。

更现实的一点是，严格区分「哪一步是人做的、哪一步是 AI 做的」在实践中根本无法验证——研究者只要重新学会并重写 AI 产出的内容，外界就无从判断来源。所以按人/AI 切割 credit 没有可执行性。比较可能的制度是：主要依据问题的重要性和成果的完成度来评价作者；披露 AI 的用途，更多是为了帮助他人复现，而不是为了扣减贡献。反过来，如果学界坚持「用了 AI 的部分不算人的贡献」，重要成果中的 AI 使用反而会被系统性地隐瞒，披露制度会彻底失效。

AI 也在影响一个大家如何评价一个数学结果，一个结果由 AI 做出，和它的数学重要性毫无关系——但媒体的参与会扭曲这个判断，最近很火的 Jacobian 猜想的反例就是新闻效应大于数学尺度的例子。就反例而言，我的标准是：一个反例真正重要，当且仅当大家原本相信命题为真（也就是不相信反例的存在性），或者反例本身揭示了某种深刻的结构。显然这个例子超出了它应该有的热度。

做为数学家

我们能做什么

首先，不会用智能体的人，会是新时代的文盲——Codex、Claude Code、git 这些工具，还有命令行的基本操作，是一定要学会的。就我自己平时的数学科研而言，大致可以分成三个阶段：ideation（想法）、detailing（细节确定）、paper writing（写作）。ideation 阶段，我目前还是建议直接和聊天窗口对话，但不要用 GPT 网页版——那里的聊天记录不好导出；尽量用 Codex 里自带的聊天，实测下来，聊天本身就是这个阶段最好用的形式，同时一定要学会开分支去试不同的想法。想法差不多定下来以后，就进入把细节确定、保证证明是对的这个阶段：这时候可以直接用 Claude Code 或者 Codex 来替我们干活，但是这两个智能体不是为数学设计，如果完全是自己动手补细节，把智能体作为辅助，那它们完全够用。但是如果想进一步解放生产力，追求更加自动化的生产，那么它们在使用时都存在严重的问题。我这里建议大家可以关注北大开源的智能体 rethlas，也可以关注我自己正在开发的 qmd-prover（https://GitHub. com/powergiant/qmd-prover，项目名字起得太随便了，我打算尽快改一个更合适的名字）。

下面是我自己的 research taste，也就是我对「接下来该做什么」这个问题的判断。

对数学家来说，今年和明年是一段很好的窗口期。AI 能力提升的重心，正在从「堆更大的基座模型」逐渐转向「harness 工程」——也就是围绕模型搭建的工具、流程、上下文管理这一整套脚手架。基座模型的训练需要巨大的算力和团队，普通数学家插不上手；但 harness 层里面可以用上很多数学家对研究流程本身的理解，这恰恰是数学家自己更有优势判断的地方。这意味着，这段时间里，数学家其实可以有很多实质性的参与空间。

现在 LLM 的能力越来越强，harness 层很多原本需要专门工具去做的功能，正在被基础模型本身逐渐吸收掉——举个例子，以前很多人会专门为某类任务设计固定的多步工作流：先检索、再规划、再执行、再核查，每一步都用代码显式串起来；但现在 Codex、Claude Code 这类工具自带的动态智能体循环，已经能自己决定什么时候检索、什么时候规划、什么时候执行、什么时候停下来复查，当年很多精心设计的固定工作流，收到这种能力的强烈冲击，变得没有必要了。那问题时，我们还能做什么，才能让自己的工作留下来？一个有意思的参照是编程语言：模型写代码的能力已经很强了，但并没有出现「Python 被模型能力吃掉、模型直接绕开 Python 解释器自己写字节码」这种情况。也就是说，给 AI 的工作定下一套规范、一种格式，这件事本身很可能不会被模型能力吸收，反而会形成一个很深的护城河，形成 「AI 按照格式写 → 这些按格式写出来的语料被拿去训练 AI → AI 变得更擅长按格式写」 的自我强化的循环。

那具体怎么给数学证明这类自然语言的东西定规矩？

我自己在数学上做的一个具体尝试叫 qmd-prover（后面可能改名）。它的做法是用 Quarto markdown（. qmd）这种纯文本格式来写数学：每一个定义、引理、定理都是一个独立的「块」，用三个冒号：:: 包起来，每一个块会有一个标签，比如 #lem-foo。证明里只要用到某个已有的定义或结果，就要在用到的那一处显式写出 @lem-foo 这样的引用，不能含糊带过。这套规则写在项目根目录的 AGENTS. md 里，是 AI 在这个项目里必须遵守的契约——每次写证明之前先读它，照着规矩写。qmd-prover 本身是一个命令行工具，负责检查 AI 有没有真的照做：一层是机械检查，不需要 AI，直接扫描所有 @id 引用，确认标签唯一、没有引用不存在的结果、依赖关系里没有循环，把整个项目的引用关系拼成一张依赖图；另一层交给一个独立的 AI 验证器，只给它一条证明和它引用的那几个结果，让它判断这条证明是不是真的能从这些引用推出结论，而不是把整个项目的上下文一股脑塞给它。两层检查合起来，才能在任何时刻准确说清楚「这个项目里，哪个结果真的证完了、哪个还卡着、卡在哪」。这和给代码引入类型系统之后就能做静态分析，是同一个道理——我相信没有人会愿意让 AI 写没有类型检查、定义跳转都很麻烦的 JavaScript。

有了这样一套格式以后，下一步是把整个数学学科的资料都用这套格式重新组织起来，建立数学库、数学规范集——把数学界已有的结果结构化地收录进来，为它们建立好的索引。到那个时候，很多原本要靠人工、或者浪费 AI token 的事情都可以自动化：检索，找到所有用到某个定理的地方；去重，发现两个看似不同领域的结果其实证的是同一件事；甚至追踪断层——顺着依赖图往下查，发现某条大家都在用的引理，追到源头其实从未被真正证明过，只是「大家都以为已经证过了」。

最后，类似的想法其实可以推广到很多领域，不只是数学。物理、化学、生物这些学科的推导和论证，本质上也是「一个结论建立在若干个已有结论之上」这种依赖结构，只是最终的检验标准从「逻辑是否成立」换成了「是否符合实验数据、是否符合已知理论」；历史学的论证也类似，一个历史判断依赖若干史料和前人研究，把这种依赖关系显式标注出来，会让「这个说法到底有没有证据支持」变得可核查，而不是含糊地「大家都这么说」；哪怕是软件的设计文档，一个模块的设计决策依赖哪些约束、哪些上游假设，也是同一种结构。当然，每个领域需要一套贴合自己学科标准的验证器——数学看逻辑推导，实验学科要核对数据和方法，历史学要核对史料——但「用显式依赖图取代含糊引用、用可追溯的检查取代『大家都这么说』」这个底层想法是相通的。

对我的项目感兴趣的小伙伴可以私信我或者给我发邮件，不只是欢迎数学背景的，计算机、统计学、物理、化学、生物学等各个背景的朋友都欢迎，很高兴和更多人一起碰撞想法！

感谢 @知乎科学 的邀请～ 感谢李阳垟学长的审核。

今年的国际数学家大会上，王虹老师和邓煜老师——两位对我很重要、也在不同阶段给过我影响的学长学姐——同时获得了菲尔兹奖。看到这个结果，我当然非常高兴，也觉得自己应该写点什么。

所以，我先讲讲我认识的他们；然后再尽量用最通俗的语言，介绍他们各自最具代表性的工作。

网上有人说，这可能是「最后一届没有 AI 参与的菲尔兹奖」。这话现在还只是一句玩笑，但它并非毫无来由：前些时间，OpenAI 的内部模型构造反例推翻了 Erdős 的平面单位距离猜想；结果公布以后，我又用普通的 GPT-5.5 Pro 复现了核心构造。

我原本围绕这件事写过一篇没有发出的稿子。过去一年里，我自己也花了很多时间开发和调试智能体。借这次机会，我想把两件事放在一起聊一聊：一边是人类数学家所达到的最高处，一边是正在迅速成长起来的人工智能。

二位获奖人的介绍

邓煜：一个很早就成为「传说」的学长

我读博时，邓老师已经从普林斯顿毕业了，但在我们这个方向，他一直是一个传说级的学长。

他的履历几乎是大家想象中「数学天才」的标准模板。他籍贯是河南开封的（算起来跟我是很近的老乡），深圳长大，从初中起便连续获得数学联赛一等奖；高二参加中国数学奥林匹克冬令营，以满分 126 分获得金牌并进入国家集训队；2006 年，16 岁的他获得 IMO 金牌。2007 年，他进入北大数院，和王虹老师恰好是同届同学；2009 年转学到 MIT。本科阶段他就在 JEMS 发表论文——仅凭那时的研究水平，在很多学校申请教职都已经相当有竞争力；到普林斯顿读博以后，又在数学四大期刊之一的 Acta Mathematica 发表工作，四年完成博士学位，还获得了 Porter Ogden Jacobus Fellowship，也就是普林斯顿授予研究生的最高荣誉。

第一次见邓老师，觉得他还挺严肃的，有一点「社恐」。他不太热衷社交，大部分时间都沉浸在自己的世界里：做数学、看数学竞赛题、读漫画和动漫、下围棋或象棋，也爱看体育赛事。他的围棋大约有业余五到六段的水平。熟悉以后会发现，他其实很好玩，也完全可以逗；他的 PPT 和电脑背景里有时会突然冒出一些二次元素材。他喜欢诗歌、故事、谜题和科幻，如果不做数学家，说不定也会是一个漫画家、小说家或者围棋大师。

我一直非常佩服他解决问题的能力。顶尖数学系里从来不缺聪明人，但即使放在这群人中，邓老师也属于最顶尖的那一类。他可能是我见过的、在「反应很快」这一类数学家里反应最快的人：问题难度没有超过某个阈值时，他往往可以像上帝一样直接看到答案。

王虹：让人愿意把不成熟的想法讲完

我博士二年级时对调和分析很感兴趣，在网上到处找课程和资料，刷到过王老师的讲课视频，也读过她的文章。她讲课非常好：板书漂亮，讲义条理清晰。因为博士年级差的不远，我听说过她的很多传奇故事。她来自广西桂林，跟我有很多共同点，都是 16 岁进入大学，都是一年级转系后进入数学专业，都在那之后到法国学习，然后再到美国学习。经历太过相似以至于后来我在 IAS 的名单上看到她，第一反应就是：我一定要去看看她到底是怎么样的人。

王老师的厉害并不带给人压迫感。她是我见过最善于倾听的数学家之一，和她相处，人会莫名其妙多出一点自信。很多时候，你向一位高手讲一个还不成熟的想法，讲不了几句，对方就会接管谈话，开始追问甚至「拷打」其中的漏洞。王老师不一样，她会像一个认真又好奇的学生，听你把想法讲完，再认真回应。博二时，我遇到一个不会处理的数论问题，跑去向她请教。我在这块其实菜得抠脚，佯装自信地向她介绍了问题背景，王老师像学生一样耐心听我讲完，然后很快抓住了这个问题的关键，给了我很好的建议。

生活中的王老师也很可爱。她能熟练使用中文、英文和法文，很有语言天赋；以前也很爱运动，只是当老师以后空闲少了一些。她有时会卖个萌，或者忽然从旁边探过头来，看看大家在做什么。在男性占绝大多数的数学圈里，她身上有一种不一样的气质：细腻、松弛，也不需要靠距离感来证明自己的强大。她像一位很容易亲近的大姐姐，让身边的人放下顾虑，愿意把尚未成形的想法说出来。

两位数学家的工作介绍

我下面介绍一下两位得主的获奖主要工作。

王虹与三维挂谷猜想

据说，日本数学家挂谷宗一曾让人想象：一名武士在极其狭窄的厕所里遭遇偷袭，手里只有一把长刀。为了防御来自所有方向的攻击，他必须让这把刀转过 360 度。挂谷宗一把长刀抽象成一根长度为 1、没有粗细的针，并且提出了以下问题，要让这根针转遍所有方向，它扫过的面积最小能有多小？这就是挂谷问题。

直觉上，这怎么也得需要一个圆盘大小的空间吧。反直觉的是，一位数学家 Besicovitch 后来发现，只要允许针在旋转的同时巧妙地平移，它扫过的面积可以是 0。

已经知道最小面积是 0 了，那我们还在研究什么？关键就在」趋近于 0」到底有多快。我们可以给这根针加上一点点粗细，把它看成一根细管。针越细，它扫过的面积当然越小；数学家关心的是，如果针必须转遍所有方向，那么当针的粗细趋于 0 时，这片面积不能以太快的速度消失——这就是挂谷猜想。

也可以从粒子的角度来理解。假设我们朝所有方位发射许多极小的球，每个球沿直线运动一个单位距离。每个粒子都会扫出一根细管；因为沿每个方向运动的粒子都存在，这些粒子扫过的区域和刚才提到的带有粗细的针扫过的区域一样。问题可以重新叙述为，假设我们允许调整粒子运动的初始位置，让这些细管的重叠尽可能大，它们扫过的总体积究竟能被压缩到多小？

二维情形很早就解决了，但到了三维，管子之间重叠和交叉的方式一下子变得极其复杂，像一团永远理不清的乱麻，挡住了几代顶尖数学家。2025 年 2 月，王虹老师和 Joshua Zahl 证明了三维挂谷猜想。此前的研究已经知道，面积很小的挂谷集必然会形成大量「颗粒」——一种和管子等粗、却更短更宽、被许多管子穿透的凸块；但「颗粒」形状固定，某个尺度上证明的控制用不到其他尺度。他们的关键突破，是把注意力从「颗粒」转移到任意凸集：只要管子不能被大量塞进同一个凸集，它们扫出的体积就必须接近最大。这个判据不依赖具体形状，可以在每个尺度上反复套用，于是他们设计出一套自我推动的递推论证——用小尺度上较弱的体积下界，推出更大尺度上更强的下界，层层推高，最终把结论一路推到完整的三维情形。

一根针转来转去，为什么值得数学家花这么多年？因为挂谷问题是那种特别典型的数学问题：表面看起来像个几何游戏，底下却连着一大片世界。薛定谔方程描述量子粒子如何传播；粒子的运动本质上是概率的，方程的解要把所有可能的初始位置和方向叠加在一起，这正是「许多小球朝不同方向运动」的同一种结构。如果把这个方程放到环面上求解，答案还能写成一个指数和——指数和自高斯以来就是数论里的经典研究对象，挂谷问题也由此和 Vinogradov 均值猜想这样的数论大问题联系在了一起。这往往就是数学最神奇的地方：本来在认真研究一根针怎样转，最后却发现这个问题和波怎样传播、量子粒子怎样演化、以及数论对象怎样分布高度相关。

邓煜与从微观粒子到宏观流体

1900 年，David Hilbert 提出了后来影响整个二十世纪数学的 23 个问题。第六问题讨论的是「物理学的公理化」：我们能不能从少数基本的物理定律出发，用严格的数学一步步推导出更大尺度上的物理现象？

在这个很宏大的愿景下面，希尔伯特提出了一条特别具体的路线：能不能从微观粒子的牛顿运动出发，严格推出气体的统计规律，最后再推出宏观的流体方程？物理学家早就相信这条路是通的，也已经沿着它工作了一百多年；但「物理上非常合理」和「数学上已经证明」，毕竟还是两回事。

以流体为例，微观上，它由数量巨大、不断运动和碰撞的粒子组成。你可以用牛顿运动定律计算所有粒子的位置和速度，从而精确计算整个动力学；宏观上，我们却根本不会、也不可能逐个追踪大约 10^{23} 个粒子，而是用密度、温度、压强和速度场来描述整杯气体，再用流体动力学方程刻画它的运动。

我经常把这想成一个由无数人组成的国家。随机抽出两个人，他们有直接关系的概率应该很小；同样地，当粒子足够多、足够稀薄时，我们也希望任意几个粒子在统计意义上近似独立。问题是，粒子每碰撞一次，就会产生新的相关性；碰撞不断累积，这些关系会像一棵疯狂分叉的大树一样迅速爆炸，数学上研究这些关系十分困难。

1975 年，Lanford 第一次严格证明，稀薄硬球系统确实可以推出玻尔兹曼方程，但只在一个极短的时间内成立。用刚才的比方说，他证明了人群刚开始移动的那一小会儿，彼此之间还来不及形成太复杂的关系；时间一长，原来的方法就控制不住了。

我们首先解决的，就是这个人为的短时间限制。更准确地说，只要相应的玻尔兹曼方程正则解在给定时间区间内存在，我们就能证明硬球粒子系统到玻尔兹曼方程的极限在整个区间内成立。技术上，我们保留粒子的完整碰撞历史，用累积量刻画相关性，再把这些历史编码成图，设计一套切割算法把大图的问题约化成小图的问题，证明高阶相关性始终足够小。

在后续工作中，我们又把这条路继续向前推进：从二维和三维环面上的弹性硬球系统出发，经过玻尔兹曼动理学，严格推导出流体方程。也就是说，在这一明确的数学框架和尺度极限下，我们把

这条物理学家使用已久的路径真正连了起来。

而这也远不是邓老师研究的终点。粒子系统并不是他最初、也不是唯一的研究主线；他长期关心非线性偏微分方程中的随机性问题，也就是物理学说的场论问题，如今正在向一个更加艰难的问题推进：七个千禧年大奖难题之一的 Yang–Mills 存在性与质量间隙问题。这个问题与他从博士时期起一直思考的方向高度相关；2026 年，他已经在其中某些简化模型上取得了推进。当然，从简化模型到完整难题仍有很长的距离，但他的研究正在沿着这条更陡峭的路线继续展开。菲尔兹奖所表彰的，不只是一个已经完成的故事，也是一项仍在生长的研究计划。

其实不止有邓老师和王老师，下面的诸位老师也非常有机会，我可以说，即使没有邓王二位老师，今年还是有不小的概率有一位中国人拿奖。下面是一个按照姓名字母顺序排列的不完整的列表，后面我也会更新完善它。

孙崧

孙崧老师本科毕业于中科大少年班——在科大，他是流传已久的传说——之后在威斯康星大学麦迪逊分校师从陈秀雄取得博士学位。他做微分几何，与陈秀雄、Simon Donaldson 合作证明了丘成桐—田刚—Donaldson 猜想：Fano 流形上凯勒—爱因斯坦度量的存在性，等价于一个纯代数的「K-稳定性」条件——这是近二十年几何分析最重要的进展之一，三人也因此获得 2019 年的 Veblen 奖。孙老师前两年从伯克利全职回国，加入了浙江大学。数学之外，他还是一位羽毛球高手。

唐云清

唐云清老师本科毕业于北大数院，在哈佛师从 Mark Kisin 取得博士学位，做数论与算术几何。她与 Calegari、Dimitrov 合作证明了悬置半个世纪的「无界分母猜想」；之后三人又证明了 1、\zeta(2)、L(2,\chi_{-3}）的线性无关性。她性格开朗、从容自信，还超级会讲课，我觉得她的讲课水平和王虹老师在伯仲之间。在普林的时候，我听过她讲一次椭圆曲线课：从费马的无穷下降法讲起，一路自然地走到 Mordell–Weil 定理，把这么深刻的定理都能讲得清清楚楚。

王艺霖

王艺霖老师本科就读于巴黎高师，之后在苏黎世联邦理工（ETH）师从 Wendelin Werner（2006 年菲尔兹奖得主）取得博士学位；她曾是 IHES 历史上第一位 junior professor，如今回到 ETH 任教。她引入了平面曲线的「Loewner 能量」，出人意料地把随机共形几何（SLE）和 Teichmüller 理论、双曲几何连在了一起：刻画一条随机曲线有多「反常」的概率论，与刻画曲面形变的经典几何，说的是同一件事。她因此获得 2022 年的 Maryam Mirzakhani New Frontiers 奖。

徐宙利

徐宙利老师本科和硕士毕业于北大数院，在芝加哥大学取得博士学位。他做代数拓扑，专攻球面的稳定同伦群——这个领域里最经典也最难啃的对象。他与王国祯老师合作证明了 61 维球面上只有唯一的光滑结构；2024 年底，他又与林伟南、王国祯一起解决了 Kervaire 不变量问题的最后一个情形：维数 126。至此人们终于知道，这类「奇异扭曲」的流形只存在于 2、6、14、30、62、126 这六个维数之中——一个悬置了六十五年的问题就此画上句号。

张瑞祥

张瑞祥老师本科毕业于北大数院，之后在普林斯顿师从 Peter Sarnak 读博。在普林斯顿，除了邓老师，他是另一个被我们当作「神」的存在。他给人的感觉是无所不知：解析数论、偏微分方程、调和分析，分析学的各个方面他无所不知。他与杜秀敏老师合作，在三维及以上给出了薛定谔方程逐点收敛问题（Carleson 问题）最优估计；后来又与郭少明老师合作，在所有维数上证明了 Parsell–Vinogradov 系统整数解个数的最优上界，也就是前面讲挂谷问题时提到的 Vinogradov 均值定理的高维推广；他还与 Larry Guth 和王虹老师合作证明了二维波动方程的局部光滑化猜想——调和分析里三十年来的大问题。2023 年，他获得了 SASTRA Ramanujan 奖。数学之外，他是卡牌游戏大师，酷爱宝可梦。