【导读】近 80 年来，Erdős 概率方法的下界底数从未被撼动。近日，清华与中科大联合团队在数学顶刊《Inventiones Mathematicae》发表论文，首次给出指数级改进。
2026 年 5 月，数学四大顶刊之一《Inventiones Mathematicae》刊发了一篇来自中国团队的突破性论文。作者包括清华/中科大双聘教授马杰，以及清华博士生申武杰、中科大博士生谢晟捷。
Erdős 于 1947 年发明的概率方法奠定了概率组合学的基础。此后近 80 年，学界虽在上界推进上屡有突破（2023 年已压至 3.7992），但其下界底数始终纹丝未动。这篇新论文首次实现了该方向的指数级改进。
一枚硬币扔了 80 年
Erdős 的核心思想极为简洁：通过掷硬币决定完全图每条边的颜色（正面红、反面蓝），以此证明在足够大的社交网络中，必然存在全互相认识或全互不认识的群体，且其规模至少呈指数级增长。
然而，这种“硬币着色”法假设每条边独立且红蓝概率各半，未利用任何几何结构来抑制单色团的形成，导致信息浪费。直到马杰团队引入球面几何概念，局面才得以改变。
但硬币太笨了
针对传统方法的局限，申武杰提出将几何结构融入随机性，构建了“随机球图”模型：将 n 个节点随机分布在高维球面上，距离远的边涂红，距离近的涂蓝。
高维球面具有反直觉的几何特性：维度越高，几乎所有点越集中在赤道附近，任意两条径向线的夹角趋近 90 度。这意味着点对距离高度集中，着色过程不再完全随机，而是受球面对称性精确调控，从而天然压制大片单色团的形成。
该模型存在权衡：虽然压低了红色团形成的概率，但也增加了蓝色团的概率。但在数万种着色方案的验证中，无团着色的概率依然大于零，证明收益覆盖了代价。
以近对角线 Ramsey 数 r(k, 2k) 为例，Erdős 硬币法给出的下界底数为黄金比例 (1+√5)/2 ≈ 1.618。马杰团队将其提升至 (1+√5)/2 + 10⁻²¹。尽管改进量看似微小（小数点后 20 个零才出现 1），但由于 Ramsey 数按指数增长，当 k 趋向无穷时，新下界将远超旧下界。
这项研究不仅推高了数值，更证明了 Erdős 的硬币并非最优方案。随机球图在结构上严格优于纯随机着色，表明概率方法的天花板远未到来。这是自 Erdős 以来该方向的首次指数级改进，也为超越硬币法提供了全新路径。不过，该方法目前仅在蓝色团大于红色团时有效，在对角线情形下收益尚不明显。
整个圈子炸了
论文于 2025 年 7 月挂上 arXiv 后迅速引发轰动。组合数学泰斗 Gil Kalai 发文称赞该模型“具有独立的重大研究价值”。剑桥大学 Julian Sahasrabudhe 感叹，这项技术一直隐藏在视野之中，却解决了熟悉的老问题。
随后，马杰在 UCLA 的导师 Benny Sudakov 团队证明，使用高斯随机图无需球面结构同样有效，进一步降低了推广门槛。2026 年初，该方法已被推广至多色 Ramsey 数领域。
清华 00 后的直觉
马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心及中国科学技术大学教授。他早年毕业于中科大，获 Georgia Tech 博士学位，曾在 UCLA、CMU 任教，2015 年回国。他是国家杰青获得者，并于 2020 年荣获组合数学界青年最高奖 Hall Medal。
谢晟捷，中科大少年班出身，本科期间获丘赛团体铜牌，2023 年直博师从马杰，成果发表时为博士三年级。
申武杰，00 后，清华丘成桐数学科学中心博士生，师从丘成桐。他本科毕业于北大数院，曾获多项数学竞赛大奖及 ICMM 创意本科论文奖。读博初期主攻几何与拓扑，与 Ramsey 理论并无交集。
2024 年春，申武杰偶然接触到 Ramsey 数相关论文，萌生了“是否存在比硬币更高效的随机模型”的想法。同年秋，马杰访问清华，申武杰提出构想，谢晟捷加入，三人历经一年攻坚，完成 40 页密集计算，最终完成证明。
AI 解题 vs 人造武器
同期，DeepMind 发布 AlphaProof Nexus 战报，利用 AI 解决了 9 个 Erdős 开放问题及 44 个 OEIS 猜想。然而，陶哲轩指出，AI 擅长在已知框架内搜索匹配，却难以提出原创性思想。
马杰团队的突破恰恰在于“原创”。他们并未单纯解题，而是升级了 Erdős 创立的方法论本身。如果说 AI 拆除了几堵墙，那么这三位中国学者则重铸了那把最核心的锤子。在最需创造性洞察的数学前沿，人类智慧目前仍不可替代。
尾声
1947 年，Erdős 用一枚硬币开辟了概率组合学；近 80 年后，一位中国 00 后博士生提出：“试着把节点扔到球面上。”这一灵光一闪，改写了数学史。
参考资料来源：Quanta Magazine
编辑：摩西