测度的介值性

Part Two：外测度的介值性

设 是 一有界集合， ，则对 ,  ，使

证： 因 有界，所以有闭区间 ，使  我们令

并设 ，

下证 是单调不减的连续函数：

设 且 ， 我们有由外测度的单调性得

单调性得证。而

因此

令 得

令 即得 ，所以 在 上连续。且 由闭区间上连续函数的介值定理得  使

令 ，则命题得证。

将 换成 命题依旧成立：设 为 上的可测集, ,而 ,则存在有界可测集 ,使 .

Part Three:再思考

设 为 上的可测集, ,而 ，则存在有界完备集 ,使 。

证:   因 ，可取 . 则存在有界可测集 ，使 由于 可测，应有

由上确界的性质，取 ,  ，有： 

由于 是有界闭集，存在闭区间 ，令

则 是 上的连续函数,则

,

因为直线上任一闭集可表示为一完备集与一孤立点集之并 所以存在完备集 及孤立点集

从而

但

故有 ，得证。

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