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Part One：题目由来
这道题目节选自Rudin的《数学分析原理》第四章的课后习题，证明了形如 的实数在 上稠密。而且利用的方法不涉及积分微分。前几天的那篇关于Fourier分析的推文和这道题目想要说明的东西其实本质上是一样的，不过证明的方法有所不同，同学们可以把两篇推文结合起来看，并参考一下Fourier Analysis的第四章中有关等分布的问题一道极限题到Fourier analysis【公式不全可以左右滑动，仅在qq或微信自带浏览器可显示】
Part Two：题目解法
题目：如果 及 ，定义 为由一切的和 组成的集合，这里
(a)如果 是 里的紧子集，而 是 里的闭子集，证明 是闭集.
(b)设 是个无理数， 为一切正整数构成的集， 是由所有 构成的集， 。证明 与 是 的闭子集，但它们的和 不闭；后一点由证明 的可数稠子集推得。
证明：
(a)令 z z {z-y|y ,
假设 ，那么我们有x 且x .
根据定义有，对y ,
x z y z x+y ，矛盾。
所以 是不相交的，因为 是紧的，且 是闭，因为定义在紧集上的连续函数一定可以取得不为零的最小值，我们知道存在 ，对所有的
p ,q 使得|p-q|
考虑一个开球 (z, ) ={ | | x-z| }
假设由x ，使得x (z, ) ，那么我们有|x-z| ，对p 和y
有x=p+y，对这个y，
我们有q=z-y x=p+y=p+z-q.
对于选择的 ，我们有 |p-q|=|x-y| ，矛盾
(b)我们有 。对任意的 ，集合 在 中是开的 在 中也是开的
因为 所以 在 中是闭的，同理可得出 是闭的，由定义得
作映射
因为 是可数的并且 ，所以 也是可数
对任意正整数 ，我们考虑
为了证明稠密，我们需要如下的引理
假设 是无理数且 ，对 ，存在一个正整数 使得 ，因此，如果 ，那么我们有
引理的证明：注意到 否则有
任取 ，得正整数 ，使得 。 假设 ，因为 ， 是正整数， 我们有 并且 ， 再考虑序列 ， 因为 ，我们有 ，于是我们可以选 为 得最大正整数。 所以对 ，我们有 ，因此
所以 将区间 分割为长度小于 得子区间，因为 ，所以 在其中的一个子区间，所以引理的证明完成了。
对一般的实数 ，我们有 ，对 ，由上述引理得
我们令 ，就得到了 在 中稠密的结果。
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