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题目：设函数 定义在 上，且有 。若存在 ，使得 在 上单调递增，求证：存在 ，使得 。
Part One：题目由来
这是北京大学某一年的数学分析的期末考试题，主要考察的单调函数的一些性质，以及对实数性质的一些运用。
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Part Two：题目解答
已知 单增，容易得到 存在，且有 。又因为 连续，从而 ，由此可以推出
若对于任意的 有 ，则 ，这与 相矛盾。从而知存在 ，使得
构造点集 ，知 非空且有界。设 。若 ，有 ，这与 是 的上确界矛盾。因此 ，即 。若 ，则 ，由上确界的定义知 有 ，但是 ，矛盾。从而 ，得证。
Part Three：题目总结
这道题目最关键的地方有两个，第一是在于对于函数连续性的一个运用，即函数单增，那么在这个点处的左右极限必定存在，而且有 ，第二点在于对集合 的构造。然后利用有界去取它的上确界。如果把握了这两点，剩下的就是利用确界和单增的性质去补充完全细节问题了。
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