虽然是第一题，但是它不简单呀！

    本题来源是数学分析教程第1章，第2节的第1题，本来我以为在这个位置的题目会是一道基础题，可万万没想到这是一个大坑，还需要一点点初等数论的知识，下面我们来一起看看吧！

证明：任何有理数都可以表示为有尽小数或无尽循环小数，无尽循环小数一定是有理数。

证明：（此题会用到一点初等数论的结论，如果没学过的同学可以选择跳过） 我们有理数的定义为：形如 ， 为整数，一般设 。

先证无尽循环小数一定是有理数：

设一个无尽循环小数 为

此时对循环部分用等比数列求和公式，可将 表示成：

此时加号右边是两个整数之比是有理数， 也是有理数。因此 ， 有理数 有理数 有理数，综上任意无尽循环小数都是有理数。

再证明任意有理数都可以表示成有尽小数或无尽循环小数：

先证 ， 为正整数,可以表示成有尽小数或无尽循环小数

对 进行2和5的质数分解，得到如下形式：

情况I

此时，我们有

所以（1）和（2）均是有尽小数，因此 也是有尽小数。

情况II

因为 不能被2和5整除，所以 ，根据欧拉定理可知

（ 为正整数，是1到 中与 互质的整数的个数）

也就是说，存在正整数 使得

因此

等号右边括号内的和是无尽循环小数（形式为： ）;等号右边分式为有尽小数，因此

所以 是无尽循环小数。

至此，情况I和情况II共同证明了：

因此，对于任意的有理数 ，都有

也就是：

其结果 必然为：

有尽小数或无尽循环小数

综上：有理数一定是有尽小数或无尽循环小数。