这道题的来源是2018中科大数学分析考研试题的一道题，它的位置也是让人尴尬出现在第1大题的第2小问，和上期的一道题的感觉类似，我原以为只是一道普通的证明题，跟着题目的思路走就可以解决了，不过我在做得时候还是遇到了一些坑，主要是没那么直来直往，这道题巧妙得利用了正项函数项级数这个特点，进行了有效的放缩，使得能化无限为有限，使得极限和求和可以交换，从而可以得到最后得结果，那么话不多说，让我们一起来看这道神奇的题目吧！
已知 是正数数列，且
证明：在 ，由题目有
<1>的左侧为正项函数项级数，得到 ，均有
<2>的两侧同乘上 ，且令 ，得
我感觉还不过瘾，再附加一个有趣但是不是很难的例子：
是否存在这样的数列 ，它满足 但是
解：不存在，记 ，其中 ， 因为